Тема 7. Колебания в механике.
Лекция №9.
Колебания математического маятника.
Затухающие колебания.
Вынужденные колебания.
Колебания математического маятника.
В природе часто встречается периодическая зависимость от времени различных физических величин. Например, мы уже обращались к периодическим колебаниям автомобильного колеса на пружинной подвеске.
Определение 1.
Периодическим называют процесс, при котором физическая величина принимает одинаковые значения через равные промежутки времени. Такие характерные промежутки времени называют периодом процесса.
При колебаниях периодом является время, в течение которого совершается одно полное колебание.
Вычислим период колебаний математического маятника — материальной точки, характеризуемой массой m и подвешенной на невесомой нити длиной l.
Уравнение движения (из справочника!) имеет вид:
, (1)
где
угол отклонения маятника (см.чертёж!),
ускорение свободного падения.
Решением уравнения (1) является функция (в чем можно убедиться при прямой подстановке, самостоятельно!):
a = a0·cos(ωt+j0), (2)
где
a0 — максимальный угол отклонения маятника, являющийся амплитудой колебаний;
ω — угловая частота колебаний, связанная с периодом колебаний соотношением ω=2p/ T;
j0 — начальная фаза колебания — величина, характеризующая угол отклонения маятника в начальный момент его движения (t = 0).
Определение 2.
Колебания называются гармоническими, если они описываются ГАРМОНИЧЕСКИМИ функциями (
!)
Подставляя выражение (2) в уравнение (1), найдем, что последнее удовлетворяется при значении угловой частоты, называемой собственной частотой колебаний маятника:
|
|
, (3)
Таким образом, период колебаний маятника будет равен:
. (4)
Затухающие колебания.
Свободные механические колебания могут существовать в системах, где сохраняется полная механическая энергия. В реальных системах всегда присутствует трение, благодаря которому свободные колебания, возбужденные первоначально в системе, со временем будут затухать. Кроме того, колебания в различных системах часто происходят под действием внешней силы — так называемой вынуждающей силы.
Определение 1.
Колебанияпри наличии сил трения (сил сопротивления любого характера!) являются затухающими.
Во всякой реальной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению её энергии. Если убыль энергии не восполняется, колебания будут затухать.
Уравнение, описывающее гармонические колебания объекта массы – 
с учётом затухания, имеет вид (из справочной литературы):
, (5)
где
коэффициент (декремент) затухания колебаний, 
численная характеристика сопротивления,
, 
собственная частота системы, это та частота, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды (при r = 0).
При 
уравнению (5) удовлетворяет функция (несложно убедиться в этом простой подстановкой!), описывающая гармонические колебания:
, (6)
где 
амплитуда колебаний, начальная фаза, 
угловая частота затухающих колебаний.
На рисунке слева дан график функции (6). Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки x.
Период затухающих колебаний равен:
|
|
.
При незначительном сопротивлении среды (
) период колебаний практически равен T0 = 2π/ω0. С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.
Определение 2.
Отношение значений амплитуд,соответствующих моментам времени, отличающимся на период, называется декрементом затухания – 
.
Определение 3.
Логарифм декремента затухания называется логарифмическим декрементом затухания:
.
При 
уравнению (5) удовлетворяет функция, описывающая экспоненциальное затухание колебаний (в отличие от гармонических колебаний!):
, (7)
где А1 и А2 — вещественные постоянные, значения которых зависят от начальных условий.
В целом, движение носит апериодический (непериодический) характер— выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.
На рисунке слева показаны качественно возможные способы возвращения системы к положению равновесия при апериодическом движении.
Вынужденные колебания.
Колебания в различных механических системах часто происходят под действием внешней силы — так называемой вынуждающей силы.
Определение 1.
Колебания под действием внешней силы называются вынужденными.
При наличии внешней вынуждающей силы в правой части уравнения движения (5) появляется функция – 
, описывающая воздействие на рассматриваемую механическую систему.
В простейшем случае, когда нет затухания, получим, что
. (8)
Рассмотрим поведение механической системы в режиме, когда 
, то есть, вынуждающая сила изменяется во времени по гармоническому закону (
амплитуда).
|
|
Уравнение (8) перепишется в виде:
. (9)
Решение уравнения (8), описывающее смещение тела от положения равновесия для установившихся колебаний, имеет вид (легко проверить непосредственной подстановкой!):
, (10)
где амплитуда колебаний, 
.
Из зависимости (10) следует,
· что резонанс, как явление резкого роста амплитуды колебаний, должен иметь место при 
;
· резонансная амплитуда 
, что объясняется отсутствием сил сопротивления.
Пример №1.
Материальная точка массы – 
Г совершает незатухающие гармонические колебания в среде без сопротивления с начальным отклонением 
м и периодом 
с.
а) Написать уравнение движения материальной точки.