Исследование временных характеристик цифровых фильтров
Уфа 2006
Лабораторная работа №2
Исследование временных характеристик
цифровых фильтров.
Цель работы: освоение методов моделирования цифровых фильтров
Краткие теоретические сведения
Временные характеристики линейных дискретных фильтров
Импульсная характеристика
Важнейшей временной характеристикой линейной дискретной системы является импульсная характеристика, под которой понимают реакцию системы h (nT) на единичный импульс d(nT) при нулевых начальных условиях. Импульсную характеристику h (nT) можно рассчитать путем решения соответствующих разностных уравнений.
Пример 1. Вычислим импульсную характеристику системы, описываемую разностным уравнением 1-го порядка у (пТ) = 0,5 у (пТ—Т) + х (пТ). Пусть
y' (-Т) = 0, х (пТ) = d(nT); при этом у (пТ) есть h (nT) и, следовательно, h (nT)= 0,5 h (nT - T) + d(nT), откуда
h (0)= 0,5 h (- T) + d(0) = 1,
h (T)= 0,5 h (0) + d(T) = 0,
h (2 T)= 0,5 h (T) = 0.25,
Видно, что
h (nT) = (0,5) n
Реакция фильтра на произвольное воздействие
При помощи дискретной свертки можно рассчитать реакцию y (пТ) дискретного фильтра на любое воздействие х (пТ). Действительно, входная последовательность фильтра
(1)
Так как реакция дискретного фильтра на единичный импульс d(nT) есть импульсная характеристика h (пТ), то вследствие стационарности фильтра h (nT - mT) будет реакцией фильтра на последовательность d(nT - mT) и из свойств линейности фильтра следует, что реакция у (пТ) на последовательность х (пТ) (1) будет равна
(2)
Заменой переменных (2) может быть преобразовано к виду
(3)
В (2) и (3) предполагается, что h (nT) = 0 при п< 0 и x (nT) = 0при п < 0; поэтому (4):
(4)
Наконец, если х (пТ) и h (nТ) конечны и отличны от нуля только в N точках,
n = 0, 1,..., N - 1, то (5):
(5)
Формулы свертки (4) и (5), как видно, определяют выходную последовательность как сумму откликов системы на входную последовательность импульсных воздействий и позволяют вычислить выходную последовательность у (пТ) при нулевых начальных условиях и при произвольной входной последовательности х (пТ).
Пример 2. Переходная характеристика g (nT) - реакция линейной дискретной системы при нулевых начальных условиях на единичную последовательность ио (пТ) - может быть вычислена согласно (4):
(6)
Очевидно, что h (nT) = g (nT) - g (nT - T).
Связь между передаточной функцией и импульсной характеристикой
По определению передаточная функция
H (z) = Y (z)/ X (z),
где Y (z) и X (z) - Z -образы выходной и входной последовательностей у (пТ) и х (пТ). Пусть х (пТ) = d(nT), тогда y (nT) = h (nT) — есть импульсная характеристика. Так как при этом X (z)= 1, то
Y (z) = Z { h (nT)}
и, следовательно,
Z { h (nT)} = H (z), (7)
т. е. Z -образ импульсной характеристики совпадает с передаточной функцией системы.
Если записать H (z) в общем случае в виде 
то очевидно, что коэффициенты bk совпадают с k– ми выборками импульсной характеристики h (kТ)и, следовательно,
(8)
В случае конечной импульсной характеристики h (kT) = 0при k ³ N и
(9)
Из (8) и (9), в частности, следует, что последовательность h (kT) можно вычислить из расчета передаточной функции, т. е. из уравнения H (z) = Z { h (nT)}следует соотношение
h (пT) = Z -1{ H (z)}. (10)
Заметим также, что из соотношения Y (z) = Н (z) X (z) следует, что выходной сигнал фильтра у (пТ)определяется в результате выполнения операции свертки (4).
Фильтры с конечной и бесконечной импульсной характеристиками (КИХ- и БИХ-фильтры)
Фильтром с конечной импульсной характеристикой – КИХ–фильтром – называют фильтр, у которого импульсная характеристика представляет собой конечный дискретный сигнал (N - точечный дискретный сигнал), т. е. может принимать отличные от нуля значения лишь при n = 0, 1,..., N - 1.
Фильтром с бесконечной импульсной характеристикой – БИХ – фильтром – называют фильтр, у которого импульсная характеристика может принимать отличные от нуля значения на бесконечном множестве значений п = 0, 1,...
Пример 3. Для нерекурсивного фильтра с передаточной функцией H (z)= 3 + 0,5 z -l + z -2 + 4 z -3 в силу (10) импульсная характеристика h (nT)определяется следующим образом: h (0)= 3, h (T)= 0,5, h (2T) = 1 ,h (3 T)= 4, h (nT) = 0при n ³ 4; очевидно, что это КИХ - фильтр.
Пример 4. Для рекурсивного фильтра с передаточной функцией
H (z) = 1 / (1 - 0,2 z -1) в силу (10) импульсная характеристика h (nT) определяется следующим образом: h (пТ) = 0,2 n; очевидно, что это БИХ - фильтр.
Пример 5. Для рекурсивного фильтра с передаточной функцией H (z) = (1 – z -5) / (1 – z -1)в силу (10) импульсная характеристика h (nT) определяется следующим образом: h (0) = h (T) = h (2 T) = h (3 T) = h (4 T) = 1, h (nT)= 0 при n ³ 5; очевидно, что это КИХ - фильтр.
Очевидно, что нерекурсивный фильтр всегда является КИХ - фильтром„ в то же время рекурсивный фильтр может быть как БИХ - фильтром (см. пример 4.), так и КИХ - фильтром (см. пример 5.).
Поскольку основные особенности проектирования и применения фильтров связаны с видом импульсной характеристики (КИХ или БИХ), а не с наличием или отсутствием обратной связи, будем, как правило, использовать термины КИХ - фильтр и БИХ - фильтр, а не нерекурсивный и рекурсивный фильтры.
Расчет импульсной характеристики
Чтобы получить импульсную характеристики, необходимо подать на вход фильтра единичный отсчет, дополненный некоторым количеством нулей:
filter(b, a, [1 zeros(1, N)])
Для удобства такой расчет реализован в функции impz, которая к тому же обладает рядом дополнительных возможностей.
В простейшем виде синтаксис вызова функции impz следующий:
h=impz(b, a);
Входные параметры b и а — коэффициенты полиномов числителя и знаменателя функции передачи соответственно.
Возвращаемое значение h — вектор отсчетов импульсной харак- теристики. Число рассчитываемых отсчетов выбирается автома- тически и зависит от поведения импульсной характеристики. Более подробную информацию об этом можно найти в документации пакета Signal Processing.
Чтобы явно задать число рассчитываемых отсчетов импульсной характеристики, следует использовать третий входной параметр n:
h=impz(b, a, n);
Теперь обратимся к выходным параметрам функции. В приведенных выше вариантах использовался один выходной параметр — вектор отсчетов импульсной характеристики. Если выходные параметры отсутствуют, функция impz строит график импульсной характеристики с использованием графической функции stem. Построим график импульсной характеристики фильтра Баттерворта 5-го порядка с частотой среза, равной 0,1 частоты дискретизации (рис. 1):
>>[b, a] = butter(5. 0.2);
>>impz(b, a)
Рис. 1. График импульсной характеристики, построенный функцией impz