Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Тема 3.1. Теория пределов.

Типы неопределенностей и методы их раскрытия

Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.

1. Неопределенность вида

Пример 1. Вычислить предел

Решение: При подстановке вместо переменной х числа 5 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно разложить знаменатель на множители: х² -25 = (х-5) ∙ (х+5), получили общий множитель (х-5),на который можно сократить дробь. Задан­ный предел примет вид: . Подставив х=5,получим результат: = = =

Пример 2. Вычислить предел

Решение: При подстановке вместо переменной х числа 3 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель х-3. В результате получим новый предел, знаменатель ко­торого при подстановке вместо переменной х числа 3 не равен нулю. Этот предел легко вы­числяется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.

Пример 3. Вычислить предел

Решение: При подстановке вместо переменной х числа 0 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным пределом и его следствием . После чего предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.

I I. Неопределенность вида

Пример 4. Вычислить предел

Решение: При подстановке вместо переменной х бесконечности () видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень, в данном случае на х. Получим:

= = , т.к. величины являются бесконечно малыми и их пределы равны 0.

Замечательные пределы:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Правила вычисления производной.

1. , т. е. постоянный множитель можно вынести за знак производной.

2. , т. е. производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

3.

4. .

Общая схема исследования функции и построение её графика.

1. Найдите область определения функции.

2. Исследуйте функцию на четность или нечетность.

3. Найдите промежутки знакопостоянства.

4. Найдите промежутки монотонности функции, её экстремумы.

5. Найдите промежутки выпуклости графика функции, её точки

перегиба.

6. Найдите точки пересечения графика функции с осями координат.

7. Постройте график функции, используя полученные результаты

исследования.

Построить график функции:

2. D(y) = R

3. Функция не является четной и нечетной.

4. у = 0 при х = 0. Два промежутка знакопостоянства и

для ; для

5. Найдем производную данной функции:

при х = -1. Эта точка делит область определения функции на два промежутка

̶ - +

̶ 1

Исследуемая функция на промежутке убывает, а на промежутке возрастает. Точка х = -1 – точка минимума

6. Найдем вторую производную данной функции:

при х = -2

̶ +

̶ 2

для , для

следовательно, график следовательно, график

функции на этом функции на данном

интервале выпуклый интервале выпуклый

вверх. Вниз.

Х = -2 – точка перегиба,

7. По полученным данным строим график

ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ

1. Вычислить предел функции:

1) ;

2)

2. Исследовать функцию и построить её график