Лектор: профессор Булинский А.В.
Статус курса: основной
Предназначен для студентов 3 курса, 6 семестр
Продолжительность: полгода (весна)
Форма отчетности: зачет, экзамен
Программа на 2011/2012 учебный год.
1. Примеры случайных процессов, основанные на семействах независимых случайных элементов (случайные блуждания, процесс восстановления, модель Крамера-Лундберга, эмпирические меры, пуассоновский точечный поток).
2. Ветвящиеся процессы Гальтона -- Ватсона. Вероятность вырождения.
3. Бесконечные произведения измеримых пространств, цилиндрические алгебра и σ-алгебра. Теорема о π-λ системах. Случайные элементы и их распределения. Случайный процесc как семейство случайных элементов и как одно измеримое отображение в пространство траекторий.
4. Вероятностные ядра, интегрирование по ним. Теорема Ионеску – Тулчи. Построение последовательности независимых случайных элементов с заданными распределениями.
5. Конечномерные распределения процесса. Формулировка теоремы Колмогорова о согласованных распределениях (доказательство необходимости условий).
Условия согласованности мер на пространствах (Rn, B(Rn)) в терминах характеристических функций.
6. Процессы с независимыми приращениями. Критерий существования процесса с независимыми приращениями в терминах характеристических функций приращений. Пуассоновский (с локально конечной мерой интенсивности) и винеровский процессы как процессы с независимыми приращениями.
7. Гауссовские процессы. Построение действительного гауссовского процесса, имеющего заданные функцию среднего и ковариационную функцию.
8. Конструкция (непрерывного) броуновского движения по функциям Шаудера и последовательности независимых гауссовских величин:
а) построение на [0,1]; б) построение на [0,¥).
9. Конструкция (непрерывного) броуновского движения по функциям Шаудера и последовательности независимых гауссовских величин:
10. Теорема Пэли – Винера – Зигмунда (недифференцируемость с вероятностью 1 траекторий броуновского движения в каждой точке t ³0). Модификация процесса. Формулировка теоремы Колмогорова – Ченцова (построение модификации, имеющей гельдеровские траектории).
11. Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.
12. Процессы со стационарными независимыми приращениями. Вывод строго марковского свойства для таких процессов.
13. Доказательство того, что càdlàg-модификацию пуассоновского процесса интенсивности λ˃ 0 (с неубывающими траекториями) можно рассматривать как процесс восстановления, построенный по независимым случайным величинам, экспоненциально распределенным с параметром λ.
14. Принцип отражения для винеровского процесса. Лемма о совместном распределении suptÎ[0,T]w(t) и w(T), где w(.) – винеровский процесс. Теорема Башелье (нахождение распределения suptÎ[0,T]w(t)). Формулировка закона повторного логарифма.
15. Условное математическое ожидание, его свойства (без доказательств).
Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы. Примеры.
16. Разложение Дуба.
17. Дискретный вариант формулы Танаки. Равномерная интегрируемость семейства случайных величин. Доказательство соотношения E Ln(0)~(2n/p)1/2, n®¥ (Ln(0) – локальное время в нуле для симметричного случайного блуждания).
18. Лемма, описывающая свойства марковских моментов и порожденных ими
σ-алгебр. Теорема Дуба об остановке (эквивалентность трех условий).
Следствие, обеспечивающее равенство EX(τ)=EX(0), где τ – марковский момент такой, что EX(min{τ,n}) ˂ С для некоторого С˃0 и всех натуральных n.
19. Первое тождество Вальда.
20. Классическая задача о разорении игрока.
21. Аналог теоремы Дуба для опциональных моментов в случае, когда процесс имеет непрерывные справа траектории.
22. Задача о разорении компании в модели Крамера-Лундберга.
Оценка вероятности разорения.
23. Марковские процессы с дискретным и непрерывным временем (случай, когда фазовые пространства являются борелевскими). Доказательство того, что действительный процесс с независимыми приращениями является марковским.
24. Свойства переходных вероятностей. Построение марковской цепи, имеющей заданные начальное распределение и переходные вероятности.
25. Пуассоновский процесс как цепь Маркова. Однородные марковские процессы.
26. Эргодическая теорема для цепей Маркова с непрерывным временем.
27. Стационарное распределение и его свойства. Определение стационарного (в узком смысле) процесса. Построение стационарной марковской цепи при наличии стационарного распределения.
28. Стандартные марковские цепи. Формулировка теоремы о дифференцируемости в нуле (справа) переходных вероятностей однородной стандартной марковской цепи. Построение стохастической полугруппы по конечной (инфинитезимальной) матрице.
29. Консервативные цепи и справедливость для них системы обратных дифференциальных уравнений Колмогорова. Вывод прямой системы Колмогорова для консервативных цепей с конечным числом состояний.
30. Системы массового обслуживания (описание модели). Формулы Эрланга.
31. Интеграл по ортогональной случайной мере (cлучаи конечной и s-конечной структурной меры).
32. Теорема Карунена.
33. Формулировки теорем Герглотца и Бохнера-Хинчина. Стационарные в широком смысле процессы, их спектральное представление.
34. Интеграл Ито и его свойства. Формула Ито (без доказательства).
Понятие о стохастических дифференциальных уравнениях и сильных решениях.
ЛИТЕРАТУРА
[1] А.В.Булинский, А.Н.Ширяев. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005.
[2] А.Н. Ширяев. Вероятность. Т. 1,2. М.: МЦНМО, 2005 (третье издание).