Основные законы распределения дискретных случайных величин
Закон распределения | Формула | Математическое ожидание | Дисперсия | Примечание |
Биномиальный закон распределения | Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие A появится ровно k раз (и не появится q = n-k раз) - формула Бернулли | M(k) = np | D(k) = npq | Испытания происходят в одинаковых условиях и вероятность появления события A в каждом испытании одна и та же и равна p, а q=1-p – противоположное событие. |
Закон распределения Пуассона | Предельный случай биномиального распределения, где m=np: | D(k) = m | Число испытаний n очень велико, а вероятность появления события в каждом отдельном испытании очень мала. Практически формулой Пуассона с достаточной степенью точности можно пользоваться при p < 0,1; m < 10 | |
Геометрическое распределение | Испытания заканчиваются, как только событие A появилось. Случайная величина X - число испытаний, которое нужно провести до первого появления события A. | |||
Гипергеометрическое распределение | Рассмотрим случайную величину X - число стандартных изделий среди отобранных. Возможные ее значения: 0, 1, 2, …, min{ M, n}. Вероятность того, что среди n отобранных изделий ровно m стандартных: | Закон иллюстрируется задачей: пусть в партии из N изделий имеется M стандартных. Из партии случайно отбирают n изделий, причем отобранные изделия не возвращаются. |
Основные законы распределения непрерывных случайных величин
Закон распределения | Формула | Математическое ожидание | Дисперсия | Примечание |
Закон равномерного распределения вероятностей | Плотность вероятностей равномерной случайной величины на отрезке [a, b] постоянна и равна нулю вне этого отрезка: Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал , принадлежащий , равна | Примером равномерно распределенной случайной величины является ошибка измерения, которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя целыми делениями прибора. | ||
Показательный (экспоненциальный) закон распределения | Непрерывная случайная величина подчинена показательному закону распределения, если ее плотность вероятностей равна Интегральная функция распределения показательного закона: Вероятность попадания на конечный интервал случайной величины, распределённой по показательному закону, равна | Примером случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлением двух последовательных событий, наступающих в случайные моменты времени (события простейшего потока). | ||
Нормальный закон распределения | Непрерывная случайная величина подчинена нормальному закону распределения (закону распределения Гаусса), если ее плотность вероятностей равна . математическое ожидание. - среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на произвольный конечный интервал () равна где - функция Лапласа | Является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. |