Точечная и интервальная оценка среднего значения признака в генеральной совокупности по данным большой выборки
Условие: имеются данные выборочного наблюдения о годовой заработной плате работников, занятых в сельском хозяйстве (таблица 2.1.) Численность выборки составляет n=36.
Провести точечную и интервальную оценку среднего значения признака генеральной совокупности (среднего значения заработной платы 90 тысяч работников в районе).
Таблица -2.1 Годовая заработная плата работников, занятых в сельском хозяйстве по данным выборочного наблюдения
| № наблюдения | Годовая зарплата (тыс.руб.) | Квадрат значения признака | № наблюдения | Годовая зарплата (тыс.руб.) | Квадрат значения признака |
| Х i | Х i2 | Х i | Х i2 | ||
| Итого |
Решение:
1. Определим квадраты значений признака (хi2) и запишем их в таблицу 2.1.
2. Подсчитаем 
и 
и также запишем в таблицу 2.1.
3. Вычислим среднюю величину по данным выборочной совокупности:
(тыс.руб.)
4. Найдем выборочную дисперсию:
5. Исчислим несмещенную оценку[1] дисперсии:
Несмещенная оценка дисперсии может быть исчислена также без определения выборочной дисперсии по формуле
6. Рассчитаем среднюю ошибку выборочной средней:
(тыс.руб.)
Примечание: так как число выборки по отношению к числу единиц генеральной совокупности чрезвычайно мало, то поправочным коэффициентом 
можно пренебречь.
7. Проведем точечную оценку средней в генеральной совокупности:
(тыс.руб.) при m x = 0,82 тыс.руб
8. По таблице "Значение интеграла вероятностей при разных значениях t" (приложение 1) найдем теоретическое значение t при доверительном уровне вероятности 
: t 0,95=1,96.
9. Определим предельную случайную ошибку выборочной средней:
9 (тыс.руб.)
10. Проведем интервальную оценку, т.е. найдем интервал, в котором с заданным уровнем вероятности находится средняя генеральной совокупности:
или 
(тыс.руб.)
11. Сделаем вывод. С доверительным уровнем вероятности 0,95 можно утверждать, что среднегодовая заработная плата 1 работника в районе находится в пределах от 249,38 до 252,62 тыс.руб.
Точечная и интервальная оценка средней величины генеральной совокупности по данным малой выборки
Условие: Имеются данные выборочного наблюдения о массе плодов (яблок) из партии продукции 1 тонна (таблица 2.2)
Провести точечную и интервальную оценку средней генеральной совокупности.
Таблица -2.2 Масса плодов по данным выборочного наблюдения, граммов
| № плода | Масса плода | Квадрат значения признака | № плода | Масса плода | Квадрат значения признака |
| Хi | Xi2 | Xi | Xi2 | ||
| Итого |
Решение:
1.Определим квадраты значений признака (Х i) и запишем их в таблицу 2.2
2. Подсчитаем суммы 
Х i и Х i и запишем их в итоговую строку таблицы 2.2.
3. Вычислим среднюю величину массы плодов по данным выборочной совокупности:
(г)
4.Найдем выборочную дисперсию:
5. Исчислим несмещенную оценку дисперсии:
6. Исчислим среднюю ошибку выборочной средней:
(г)
Примечание: так как число выборки по отношению к числу единиц генеральной совокупности чрезвычайно мало, то поправочным коэффициентом можно пренебречь.
7. Проведем точечную оценку средней в генеральной совокупности:
(г) при m x = 1,18 (г)
8. По таблице "Значения двухстороннего критерия t-Стьюдента (приложение 2) найдем теоретическое значение t при доверительном уровне вероятности 
и числе степеней свободы вариации 
= п -1 = 7: t0,95=2,3646.
9. Определим предельную случайную ошибку выборочной средней:
(г)
10. Проведем интервальную оценку средней в генеральной совокупности:
(г) или
Сделаем вывод. С доверительным уровнем вероятности 0,95 можно утверждать, что средняя в генеральной совокупности находится в пределах от 58,21 до 63,79 г.
[1] Несмещенную оценку дисперсии необходимо рассчитывать, прежде всего, для совокупностей менее 30 единиц