Тема 2. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Контрольная работа по вычислительной математике

Задания

В контрольной работе необходимо письменно ответить на один вопрос теоретической части и выполнить пять заданий практической части: по одному варианту из каждой темы практической части. Номер вопроса и варианта равен последней цифре в зачетной книжке. Каждый студент выполняет свой вариант в каждой теме практической части.

 

Теоретическая часть

1. Теоретические основы численных методов. Особенности математических вычислений, выполняемых на вычислительных системах. Понятие погрешности. Виды погрешностей, источники погрешностей.
2. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса. Условия сходимости методов. Оценка погрешностей.
3. Методы решения нелинейных систем. Оценка погрешностей.
4. Методы поиска экстремума функций одной переменной. Методы поиска экстремума функций нескольких переменных.
5. Конечные разности разных порядков. Постановка задачи интерполирования. Интерполяционные формулы Ньютона, Лагранжа.
6. Формулы приближенного дифференцирования. Приближенное интегрирование – общие замечания. Квадратурные формулы интегрирования.
7. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы Рунге-Кутты. Оценка погрешностей одношаговых методов.
8. Методы решения уравнения теплопроводности. Явная и неявная разностные схемы.
9. Стационарные уравнения. Уравнение Лапласа. Уравнение Пуассона. Методы Якоби, Либмана.
10. Проблема аппроксимации. Аппроксимация функций многочленами.

 

Практическая часть

Необходимо выполнить пять заданий – по одному из каждой темы. Номер варианта равен последней цифре в зачетной книжке. В контрольной работе записать расчетные формулы используемого метода, провести вычисления и записать полученные результаты.

 

Тема 1. Численное интегрирование функций.

Приближенное интегрирование – общие замечания.

Метод прямоугольников. Расчетные формулы.

Метод трапеций. Расчетные формулы.

Метод Симпсона. Расчетные формулы.

 

Задание 1. Численное интегрирование функции методами прямоугольников в среднем, трапеций и методом Симпсона.

Вычислить интеграл методами прямоугольников в среднем, методом трапеций и методом Симпсона с шагом h=0.01. Подготовить отчет с результатами. Сравнить результаты.

 

Вариант 1. Вычислить интеграл:

.

 

 

Вариант 2. Вычислить интеграл:

.

 

 

Вариант 3. Вычислить интеграл:

.

 

 

Вариант 4. Вычислить интеграл:

.

 

 

Вариант 5. Вычислить интеграл:

 

 

Вариант 6. Вычислить интеграл:

 

 

Вариант 7. Вычислить интеграл:

.

 

Вариант 8. Вычислить интеграл:

Вариант 9. Вычислить интеграл:

.

 

Вариант 10. Вычислить интеграл:

.

 

Тема 2. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод Эйлера. Расчетные формулы.

Метод Рунге-Кутты 2 (улучшенный метод Эйлера). Расчетные формулы.

Метод Рунге-Кутты 4. Расчетные формулы.

Задание 2. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методами Эйлера, Рунге-Кутты 2 (улучшенным методом Эйлера) и методом Рунге-Кутты 4

Решить задачу Коши методами Эйлера, улучшенным методом Эйлера (метод Рунге-Кутты 2) и методом Рунге-Кутты 4. Заполнить таблицу вычисленных значений параметров от начального значения, равного 0, до max значения, равного 0,1, с шагом 0,01.

 

Вариант 1.

, x ⁰=1,0;

, y ⁰=1,0;

 

 

Вариант 2.

, ;

, ;

 

Вариант 3.

, ;

, ;

, ;

 

Вариант 4.

, ;

, ;

, ;

 

 

Вариант 5.

, ;

, ;

 

 

Вариант 6.

, ;

, ;

 

Вариант 7.

, ;

, ;

, ;

 

 

Вариант 8.

,

, ;

 

Вариант 9.

, ;

, ;

,

 

Вариант 10.

, ;

, ;