Лекторий
Для студентов 1-2 курса
«Современная геометрия»
Лекция 18.12.2020
Доц. А.Ю. Коняев, проф. Е.А. Кудрявцева, проф. А.А. Ошемков
«Алгебра и топология интегрируемых систем»
Часть 1.
Профессор А.А.Ошемков
· 0:00 Общее введение.
· 2:10 Динамическая система - система ОДУ первого порядка на фазовом пространстве.
· 2:40, 4:12 Интегральная траектория векторного поля - решение системы.
· 4:50 Качественное исследование динамических систем: как описать динам. систему без явного решения системы дифф. Уравнений.
· Примеры качественных характеристик системы (7:40 особые точки - положения равновесия, их количество и тип, 9:29 линеаризация системы в особой точке, 10:18 замкнутые траектории - периодические решения, их количество и тип, 11:38 почти периодические решения, примеры: 13:32 теорема Пуанкаре-Хопфа, 15:20 теорема «о причесывании ежа», 16:10 теорема Люстерника-Шнирельмана о существовании трех замкнутых геодезических).
· 18:12 Интегрируемость и хаос, примеры (геодезические потоки на поверхностях, биллиарды в различных областях, геодезические на эллипсоиде).
· 21:04 Гамильтоновы системы (симплектическое многообразие, функция Гамильтона, гамильтонова динамическая система).
· 25:02 Первый интеграл системы. Поверхности уровня.
· 26:31 Теорема Лиувилля, торы Лиувилля (регулярные слои) и особые слои.
· 30:30 Ключевые вопросы в теории ИГС: устройство особых слоев и их окрестностей в фазовом пространстве.
· 31:43 Простейший пример интегрируемой системы с одной степенью свободы (комбинаторное описание с помощью графов, атомов).
Часть 2.
Доцент А.Ю. Коняев
· 35:57 Поиск первых интегралов - это нетривиальная глобальная задача (локально в неособых точках всегда существуют).
· 38:12 Примеры препятствий к интегрируемости - особые точки типа узел (топологические препятствия), 39:40 седло (аналитические препятствия - ответ разный в аналитическом и гладком случаях).
· 46: 36 Геометрические структуры: симплектическая структура, риманова метрика и др.
· 48:26 Механизмы и методы интегрируемости, примеры: уравнение с разделяющимися переменными 50:23 (геометрический метод годографа - ищем обратную функцию), механизм интегрирования, связанный с оператором Нийенхейса 53:48.
· 54:36 Операторное поле (задается матрицей в каждой точке аналогично симплектической или пуассоновой структуре и римановой метрике), примеры возникновения: строится по первой и второй квадратичным формам, 56:13 строится у бигамильтоновой системы по двум согласованным пуассоновым (симлектическим) структурам.
· 59:07 Тензор Нийенхейса, оператор Нийенхейса.
Часть 3.
Профессор Е.А. Кудрявцева
· 1:00:35 4-мерные интегрируемые системы. Наши коллеги и ученики, изучающие их.
· 1:02:40 Интегральное отображение (отображение момента), особое множество, бифуркационная диаграмма.
· 1:04:46 Теорема Лиувилля (стандартная модель слоения в окрестности тора Лиувилля, переменные действие-угол, явная формула для переменных действия).
· 1:06:38 Открытая проблема 1: некомпактный случай, примеры решений (Леви-Чивита и выпускники кафедры).
· 1:08:15 Иллюстрация особых слоев: седловая особенность с перекруткой или без нее (отвечает дугам бифуркационной диаграммы), бифуркация седловой особенности (отвечает точке возврата = каспу и другим особым точкам бифуркационной диаграммы), их структурная устойчивость (неустранимость каспа малыми возмущениями системы).
· 1:11:20 Бифуркационный комплекс = база слоения Лиувилля (клеточный комплекс, склеенный из «листов») - топологический инвариант слоения Лиувилля.
· 1:13:20 Пример базы слоения Лиувилля (= бифуркационного комплекса) и бифуркационной диаграммы (интегрируемый случай Эйлера из динамики твердого тела).
· 1:14:20 Открытая проблема 2: описать все слоения с базами «X x I» и «Y x I», пример (прямое произведение двух слоений на сфере).
· 1:15:26 Структурно устойчивые («типичные») особенности.
Открытая проблема 3: описать структурно устойчивые особенности и их бифуркации, примеры решений (выпускник и студент кафедры).
· 1:16:25 Иллюстрация целочисленной аффинной структуры на базе слоения Лиувилля = бифуркационном комплексе - на примере сферического маятника (перенос репера при обходе вокруг изолированной особой точки на базе, возникает целочисленная матрица перехода).
· 1:16:50 Задача Кеплера. Пример решения проблемы 1: регуляризация=компактификация Леви-Чивиты задачи Кеплера (1:18:25 область отрицательных значений энергии: периодические решения с эллиптическими орбитами и 1:19:20 случай падения на Солнце: некомпактность из-за наличия случая падения на Солнце – т.е. теорема Лиувилля вообще говоря неприменима), 1:21:19 комплексные координаты, 1:22:30 трюк Леви-Чивиты (переход на двулистное накрытие, слой Лиувилля стал компактным после домножения первого уравнения на знаменатель 1:24:30, описание топологии слоения), открытый вопрос 1:29:30 о геометрии слоения в окрестности точек падения на Солнце.
· 1:33:52 Итог: три круга открытых проблем:
1) полулокальные (в окрестности слоя) - некомпактные слои и их компактификация,
2) глобальные (на всем пространстве) - описать все слоения с заданной базой,
3) локальные (в окрестности точки) - описать структурно устойчивые особенности.
Возможные методы решения (метод разделяющихся переменных, дивизоры из алгебраической геометрии).