Начала Евклида. Проблема пятого постулата. Эквиваленты пятого постулата. Геометрия Лобачевского.
Первые «Начала» - сочинения, в которых математика излагалась на аксиоматической основе, написал в пятом веке до н.э. Гиппократ Хиосский. За ним последовали другие труды с таким же названием. Но ни один из них не сохранился до наших дней. Дело в том, что в 4-м веке до н.э. появился грандиозный трактат Евклида, состоящий из 13 книг и содержащий все основные результаты древнегреческой математики. Трактат был столь совершенным, что затмил собой все аналогичные работы предшественников Евклида. Все другие «Начала» просто перестали переписывать. В то же время не было нужды создавать что-то новое. «Начала» Евклида стали очень популярны (после появления книгопечатания они издавались более тысячи раз на всех наиболее распространённых языках; по количеству изданий они уступают только «Библии»).
Работа Евклида заключалась в обработке и упорядочении результатов предшественников. В настоящее время считается установленным, что книги 1-4 (построение фигур на плоскости) и книга 11 (плоскости и линии в пространстве) содержат результаты Гиппократа; книги 5-6 (отношения величин, подобие фигур) и книга 12 (площади фигур и объёмы тел) - результаты Евдокса; книги 7-9 (натуральные числа, их отношения, пропорции) – результаты пифагорейцев; книги 10 и 13 (классификация иррациональностей, построение тел Платона) – результаты Теэтета. До сих пор учебники элементарной математики пишутся по Евклиду. Конечно, в соответствии с современными воззрениями и символикой.
Известны несколько попыток создания систематического руководства по геометрии, это сочинения Гиппократа Хиосского (V век до н.э.) Февдия из Магнезии (IV век до н.э.) и других. Однако эта задача нашла свое наиболее совершенное и полное решение в труде Евклида «Начала» (330-275 гг. до н.э.)
Структура «Начал» Евклида.
«Начала» Евклида состоят из 13 книг. Из них I – VI посвящены планиметрии, VII – IX – арифметике, X- несоизмеримым величинам, XI – XIII – стереометрии.
Каждая книга «Начал» начинается с определения всех понятий, которые впервые в ней встречаются. В первой книге за определениями следуют постулаты и аксиомы. Затем идут «Предложения». Предложениями Евклид называет как теоремы, так и задачи конструктивного характера. Все предложения излагаются по единой схеме: формулировка, чертеж, повторение того, что дано и что требуется доказать или построить, затем следует доказательство, которое опирается на постулаты, определения, предшествующие предложения. Всего «Начала» содержат 470 предложений.
Первая книга «Начал» начинается с 23-х определений, после чего следуют пять постулатов и девять аксиом. Приведем некоторые из них.
Определения:
1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия есть длина без ширины.
3. Границы линии суть точки.
4. Прямая есть линия, которая одинаково расположена относительно всех своих точек.
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Границы поверхности суть линии.
7. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем, лежащим в ней, прямым.
…………………………..
23. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой стороны между собой не встречаются.
ПОСТУЛАТЫ. Требуется
1. Чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую;
2. Чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить;
3. Чтобы от любого центра можно было описать окружность любого радиуса;
4. И чтобы все прямые углы были равны;
5. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
АКСИОМЫ:
1. Равные порознь третьему равны между собой;
2. И если к равным прибавить равные, то получим равные;
3. И если от равных отнимем равные, то получим равные;
…….
7. И совмещающиеся равны.
В чем разница между аксиомами и постулатами остается неясным; на этот счет до сих пор нет единого мнения. Может быть, к постулатам относятся те положения, в которых объявляется возможность построения некоторой геометрической фигуры (точки, прямой, прямого угла).
Затем Евклид излагает теоремы геометрии, располагая их в такой последовательности, чтобы каждую теорему можно было доказать, используя только предыдущие предложения, постулаты и аксиомы.
Недостатки «Начал» Евклида
1. Первые пять определений они определяются через понятия «часть», «длина», «ширина», которые ранее не определены, кроме того ни одно из этих определений в доказательствах предложений не используются.
2. У Евклида нет неопределяемых понятий, которые при аксиоматическом построении геометрии обязательно присутствуют.
3. Позже было замечено, что 4-й постулат является лишним, так как равенство двух прямых углов может быть доказано так же строго, как и другие теоремы. То есть система аксиом не минимальна
4. Система аксиом не полна. Так с помощью аксиом и постулатов Евклида невозможно доказать, что если прямая проходит через внутреннюю точку окружности, то она пересекает окружность в двух точках.
Пятый постулат.
Особое место в «Началах» занимает V постулат, так как,
1) фигурирующее в нем требование, о том, что прямые пересекаются с той стороны от секущей, где сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, может быть доказано с помощью остальных постулатов, поэтому это требование может быть исключено из формулировки пятого постулата.
2) формулировка пятого постулата по сравнению с остальными постулатами и аксиомы является довольно сложной и громоздкой.
3) если все остальные постулаты используются Евклидом с самого начала, при доказательствах первых же предложений, то пятый постулат впервые используется только для доказательства предложения 29.
В силу этих особенностей пятого постулата, многие исследователи, жившие после Евклида, считали, что V постулат является следствием остальных постулатов, поэтому усилия многих поколений математиков были направлены на доказательство пятого постулата с помощью остальных постулатов. В период с III века до н.э. по XIX век нашей эры появилось большое число доказательств пятого постулата, но каждый раз кто-то из ученых находил ошибку в доказательстве, эти ошибки, как правило, сводились к кому, что в доказательстве использовалось утверждение, эквивалентное пятому постулату.
В настоящее время 5-й постулат более известен как аксиома параллельности и приводится в эквивалентной форме: через точку, не лежащую на данной прямой, в плоскости, определяемой этими прямой и точкой, проходит не более одной прямой, не пересекающей данную прямую.