Векторое произведения векторов. Смешанное произведение векторов

Определение1. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой) если, находясь внутри телесного угла, образованного приведенными к общему началу векторами и от него к , човершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке)

 

 

Тройка правая Тройка левая

Определение 2. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , длина и направление которого определяются условиями:

 

1. , где - угол между .

2. .

3. - правая тройка векторов.

 

Свойства векторного произведения

1. (свойство антиперестановочности сомножителей);

2. (распределительное относительно суммы векторов);

3. (сочетательное относиельно числового множителя);

4. (равенство нулю векторного произведения означает коллинеарность векторов);

5. , т. е. момент сил равен векторному произведению силы на плечо.

Если вектор , то .

 

Определение 3. Смешанным произведением трех векторов называется число, определяемое следующим образом: . Если векторы заданы своими координатами: , то

~ .

 

Свойства смешанного произведения

1. Необходимым и достаточным условием компланарности векторов является равенство = 0.

2. Объем параллелепипеда, построенного на векторах

:

 

Примеры решения задач

Задача 1. Найти координаты векторного произведения , если , .

Решение. Найдем и . Векторное произведение, по определению, равно .

Задача 2. Силы и приложены к точке . Вычислить величину момента равнодействующей этих сил относительно точки .

 

Решение. Найдем силу и плечо : . Момент

сил вычисляется по формуле

, а его модуль .

Задача 3. Даны координаты вершин параллелепипеда: . Найти объем параллелепипеда, его высоту, опущенную из вершины С, угол между вектором AD и гранью, в которой лежат векторы АВ и АС.

Решение. По определению, объем параллелепипеда равен смешанному произведению векторов, на которых он построен. Найдем эти векторы:

.

Объем этого параллелепипеда .

С другой стороны, объем параллелепипеда , - это площадь параллелограмма: .

, тогда высота .

Угол между вектором и гранью найдем по формуле

.

так как вектор перпендикулярен грани, в которой лежат векторы . Угол между этим вектором и вектором находим по известной формуле

. Очевидно, что искомый угол .

Итак: .

Задача 4. Проверить, лежат ли в одной плоскости точки , . Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Решение. Найдем три вектора: .

.

Три вектора лежат в одной плоскости, если они компланарны, т. е. их смешанное произведение равно нулю: . Следовательно, эти три вектора линей-

но зависимы. Найдем линейную зависимость от .

.

 

Решая эту систему, получим , т.е. .

 

Задачи

1. . Вычислить: а) ; б) ;

в) .

2. . Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и .

3. Заданы векторы . Найти координаты векторов:

а) б) ; в) .

4. Вычислить площадь треугольника с вершинами

.

5. В треугольнике с вершинами , и найти высоту .

6. Найти вектор , если векторы имеют следующие координаты:

.

7. Сила приложена к точке . Определить момент этой силы относительно точки .

8. Установить, образуют ли векторы базис в множестве всех вектров, если а) ; б) .

9. Вычислить объем тетраэдра ОАВС, если

.

10. В тетраэдре с вершинами в точках и

вычислить высоту .

11. Проверить, компланарны ли данные векторы:

а) ;

б) .

12. Доказать, что четыре точки лежат в одной плоскости.

13. Найти координаты четвертой вершины тетраэдра ABCD, если известно, что она лежит на оси Oy, а объем тетраэдра равен V:

а) ;

б) .

 

 

Домашнее задание

1. Упростить выражение .

2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где - единичные векторы, угол между которыми равен .

3. Даны векторы . Найти вектор

.

4. Дан треугольник с вершинами . Найти его площадь.

5. Даны силы , приложенные к точке . Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки .

6. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах:

1) , где - взаимно перпендикулярные орты;

2) .

7. Доказать, что точки лежат в одной

плоскости.

8. Даны вершины тетраэдра . Найти длину высоты, опущенной из вершины О на грань АВС.

9. Векторы , образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная,

что , вычислить .

10. Вектор перпендикулярен к векторам , угол между равен . Зная, что , вычислить .

11. Даны векторы . Вычислить .

12. Установить, компланарны ли векторы , если

1) ;

2) ;

3) .

13. Доказать, что точки лежат в одной плоскости.

14. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках .

15. Даны вершины тетраэдра . Найти его высоту, опущенную из вершины D.

16. Объем тетраэдра , три его вершины находятся в точках . Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси .

 

Ответы к задачам

1) . 2) . 3) (-3, 5, 7), (-6, 10, 14), (-12, 20, 28).

 

4) . 5) 5. 6) (-20, 7, -11). 8) Нет, да. 9) 17/2. 10) . 11) Да, нет.

 

13) (0, 0, 0), (0, 1, 0).

 

 

Ответы к домашнему заданию

1) . 2) . 3) . 4) . 5) . 6) 0. 8) 11.

 

9) 24. 10) . 11) -7. 12) Да, нет, да. 14) 3. 15) 11. 16) (0, 8, 0), (0, -7, 0).