Скалярное произведение векторов

ПРАКТИЧЕСКИЕ

ЗАНЯТИЯ

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА »

Занятие 1

Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов

Определение 1. Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок.

Будем обозначать вектор либо как направленный отрезок символом , где точки А и В - начало и конец данного вектора, либо . Начало вектора называют точкой его приложения.

Определение 2. Вектор называется нулевым, если начало и конец егосовпадают.

Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Это позволяет при записи отождествлять нулевой вектор с вещественным числом нуль.

Определение 3. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Определение 4. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Определение 5. Два вектора называются равными, если они коллиннеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Все нулевые векторы считаются равными.

Определение 6. Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора .

Определение 7. Разностью вектора и вектора называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор .

Определение 8. Произведением вектора на действительное число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную , и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора при и противоположное направлению вектора при .

Обозначим буквами основания перпендикуляров, опущенных на ось из точек А и В соответственно.

Определение 9. Проекцией вектора на ось называется величина

направленного отрезка оси и обозначается . , где - угол между вектором и осью .

Любой вектор может быть разложен по декартову прямоугольному базису : .

Числа - называется декартовыми прямоугольными координатами вектора . Обозначим буквами углы наклона вектора к осям координат; называются направляющими косинусами вектора .

Длина вектора через его координаты имеет вид .

Направляющие косинусы вектора вычисляются по формулам:

; ; ,

откуда следует .

Определение 10. Ортом вектора называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1) коллинеарен вектору ,

2) .

Координатами орта вектора являются направляющие косинуса.

Если два вектора заданы в декартовых прямоугольных координат , ,то

Условие коллинеарности векторов имеет вид .

Примеры решения задач

Задача 1. В равнобедренной трапеции ОАСВ угол , ,

- середина сторон ВС и АС. Выразить векторы через - единичные векторы направлений .

В М С

O A

Решение. . Так как . Найдем

вектор . Из треугольника ОСА , а так как , а

, вектор . Найдем из треуголь-

ника ONC , а так как , , .

Из треугольника OMN .

Задача 2. Даны векторы и , приложены к общей точке. Найти орт биссектрисы угла между .

Решение. Диагональ четырехугольника совпадает с биссектрисой, если этот четырехугольник – ромб (квадрат). Найдя , получим угол с одинаковыми по длине сторонами, равными единице. Таким образом, вектор направлен по биссектрисе угла между .

, ,

Найдем длину вектора , тогда орт биссектрисы равен .

Задача 3. Разложить вектор по трем некомпланарным векторам: .

Решение. . .

Приравняем коэффициенты справа и слева:

тогда и .

Задачи

1. Построить вектор по данным векторам .

2. В треугольнике ОАВ даны векторы . Найти векторы , где М – середина стороны АВ.

3. Пользуясь параллелограммом, построенным на векторах , проверить на чертеже справедливость тождества .

4. В равнобочной трапеции АВСD известно нижнее основание , боковая

сторона и угол между ними . Разложить по все векторы,

составляющие остальные стороны и диагонали трапеции.

5. Даны модуль вектора и углы . Вычислить проекции вектора на координатные оси.

6. Вычислить направляющие косинусы вектора .

7. Вектор составляет с осями ОХ и OZ углы и . Какой угол он

составляет с осью OY?

8. Даны . Найти .

9. Даны . Вычислить .

10. Векторы образуют угол , причем . Определить .

11. Даны четыре вектора: . Определить разложение каждого из этих четырех векторов, принимая в качестве базиса три остальных.

12. Даны точки . Проверить, что векторы коллинеарны; установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну сторону или в противоположные.

13. Найти орт вектора .

14. Два вектора приложены к одной точке. Определить координаты вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и , при условии, что .

15. Исследовать на линейную зависимость систему векторов

16. Доказать, что векторы линейно независимы и разложить по ним вектор .

Домашнее задание

1. Определить точку N, с которой совпадает конец вектора если его

начало совпадает с точкой М (1, 2,- 3).

2. Вектор составляет с осями координат острые углы при и . Найти его координаты, если .

3. Векторы образуют угол , причем . Определить .

4. Точка О является центром масс треугольника АВС. Доказать, что .

5. Три силы , приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить величину их равнодействующей , если известно, что .

6. Найти орт вектора .

7. Векторы совпадают со сторонами треугольника АВС. Определить координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающих с его медианами АМ, BN, CP.

8. Даны вершины треугольника: . Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

9. Зная векторы, служащие сторонами треугольника , найти векторы, соответственно коллинеарные биссектрисам углов этого треугольника.

10. На плоскости даны четыре точки: . Определить разложение векторов , принимая в качестве базиса векторы .

11. Даны три вектора: . Найти разложение вектора по базису .

Ответы к задачам

4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. 22. 10. .

11. .

13. . 14. . 16. .

Ответы к домашнему заданию

1. . 2. . 3. .

5. . 6. . 7. .

8. .

9. ,

где имеют направление внутренних углов А, В и С имеют направления биссектрис одноименных внешних углов треугольника.

10. . 11. .

Занятие 2

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением ненулевых векторов называется число ; .

Свойства скалярного произведения:

1) (переместительное);

2) (сочетательное относительно числового множителя);

3) (распределительное относительно суммы векторов).

Если , то , .

Условие перпендикулярности векторов : .

Длина вектора : .

Физический смысл скалярного поизведения: если вектор представляет силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа А этой силы определяется равенством .

Примеры решения задач

Задача 1. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , где таковы, что .

Решение. Диагонали параллелограмма есть векторы и . Вычислим длину вектора : .

Аналогично вычисляется длина вектора .

Задача 2. Найдите вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

Решение. Обозначим вектор , тогда из условий задачи

или ,

тогда . Итак: .

Задача 3. Найти проекцию вектора на направление вектора .

Решение. . По формуле проекции вектора на ось будет иметь место равенство

Задача 4. Даны векторы: .

Проверить, есть ли среди них коллинеарные. Найти .

Решение. Условие коллинеарности имеет вид . Этому условию удовлетворяют векторы . Следовательно, они коллинеарны. Найдем длины

векторов : .

Угол между векторами определяется по формуле .

Тогда , .

Используя формулу , получим .

Задача 5. На материальную точку действуют силы . Найти работу равнодействующей этих сил при перемещении точки из положения в положение .

Решение. Найдем силу и вектор перемещения . , тогда искомая работа .

Задачи

1. Векторы взаимно перпендикулярны, а вектор образует с ними углы . Зная, что , найти: 1) ; 2) .

2. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах , если известно, что .

3. Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору .

4. Зная, что , определить, при каком значении коэффициента векторы окажутся перпендикулярными.

5. Даны вершины четырехугольника: . Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

6. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

7. Даны силы . Найти работу их равнодействующей при перемещении точки из начала координат в точку .

8. Даны вершины треугольника: . Найти проекцию вектора на вектор .

9. Найти вектор , перпендикулярный векторам , если известно, что его проекция на вектор равна единице.

10. Сила, определяемая вектором , разложена по трем направлениям, одно из которых задано вектором . Найти составляющую силы в направлении вектора .

11. Даны вершины треугольника: . Найти его внутренний угол при вершине А и внешний угол при вершине В.

12. Даны три последовательные вершины параллелограмма: . Найти его четвертую вершину D и угол между векторами .

13. На оси найти точку, равноудаленную от точек .

14. Доказать, что треугольник с вершинами прямоугольный.

Домашнее задание

1. Вычислить скалярное произведение двух векторов , зная их разложение по трем единичным взаимно перпендикулярным векторам

; .

2. Найти длину вектора , зная, что – взаимно перпендику-

лярные орты.

3. Векторы попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен . Зная, что , определить модуль вектора .

4. Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору .

5. Даны векторы , совпадающие со сторонами треугольника АВС. Найти разложение вектора, приложенного к вершине В этого треугольника и совпадающего с его высотой BD по базису .

6. Вычислить угол между векторами , где - единичные взаимно перпендикулярные векторы.

7. Даны силы , приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения в положение .