Тема 3. Элементы векторной алгебры
Понятие вектора и простейшие операции над векторами вы изучали еще в школе. Вспомним кратко, что:
- геометрический вектор – это направленный отрезок прямой. Обозначается вектор: а, 
, 
, 
, где А – начало вектора, В – конец; В математике рассматриваются только свободные векторы, т.е. векторы, начало которых выбирают произвольно.
- длиной (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом, обозначается модуль вектора | 
|, или | |;
- вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором, обозначается ` 0 или 0, направление этого вектора не определяется, дина его равна 0;
- вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом;
- вектор 
называется противоположным вектору , для вектора противоположный обозначается – .
- два вектора называются равными, если они имеют равные модули и одинаково направлены, записывают: ` a =` b.
-
|
ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых, обозначают` а | |` b. Коллинеарные векторы называют сонаправленными, если их направления совпадают, обозначают` а 
` b, в противном случае векторы противоположно направленные, это обозначают ` а 
` b;
- ортом вектора ` а называется вектор ` а о такой, что ` а ` а о и 
=1(рис.1);
- ненулевые векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях;
- углом между векторами называется наименьший угол, на который нужно повернуть один из них, чтобы направления этих векторов совпали; обозначают угол между векторами ` а и` b символом 
;
- 
векторы называются ортогональными, если угол между ними равен 90о; ортогональность векторов ` а и` b обозначают ` а ^` b;
|
|
- проекцией вектора ` а на вектор ` b называется число
.
Линейными операциями над векторами называют сложение векторов и умножение вектора на число.
Суммой векторов ` а и` b называется вектор 
, который можно найти:
а) по правилу треугольника (рис. 2);
б) по правилу параллелограмма (рис.3).
Разность 
векторов` а и` b определяется равенством = + (–` b), где (
) – вектор, противоположный вектору` b.
Напомним, что в параллелограмме ОАСВ (рис.2) сумма есть вектор-диагональ 
, исходящая из общего начала О векторов и` b, а разность этих векторов есть другая вектор-диагональ – вектор, направленный из конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого.
Произведением вектора на число a ¹ 0 называется вектор a , модуль которого равен |a|.| |, а направление совпадает с направлением вектора , если a > 0, и противоположно направлению вектора , если a < 0 (рис.4).
Используя операцию умножения и определение орта вектора, "` а можно записать: = | |.` а о и наоборот, ` а о = 
.
Справедлива также следующая теорема:
Теорема3.1.
Векторы ` а и` b коллинеарны тогда и только тогда, когда существует отличное от нуля число a такое, что = a 
.
Доказательство: 1) если = a , a ¹ 0, то, по определению произведения вектора на число, ` а и` b коллинеарны.
2) Пусть ` а и` b коллинеарны. Рассмотрим ` а о и ` b о, они, очевидно, тоже коллинеарны. Значит, либо ` а о ` b о, либо ` а о ` b о и |` а о| = |` b о| = 1. Но тогда либо ` а о =` b о, ` а о = –` b о, откуда = 
, или = – . Следовательно, либо 
, либо 
, но это и означает, что существует a = 
такое, что = a . ЧТД.
Нетрудно показать, что введенные выше линейные операции обладают свойствами:
|
|
1) 
2) 
3) + (– ) =`0
4) (a + b) = a + b
5) (ab) = a(b )
6) a( + ) = a + a
7) 
8) 