Векторы и операции над ними.

Тема 3. Элементы векторной алгебры

Понятие вектора и простейшие операции над векторами вы изучали еще в школе. Вспомним кратко, что:

- геометрический вектор – это направленный отрезок прямой. Обозначается вектор: а, , , , где А – начало вектора, В – конец; В математике рассматриваются только свободные векторы, т.е. векторы, начало которых выбирают произвольно.

- длиной (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом, обозначается модуль вектора | |, или | |;

- вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором, обозначается ` 0 или 0, направление этого вектора не определяется, дина его равна 0;

- вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом;

- вектор называется противоположным вектору , для вектора противоположный обозначается – .

- два вектора называются равными, если они имеют равные модули и одинаково направлены, записывают: ` a =` b.

-

Рис.5.1

ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых, обозначают` а | |` b. Коллинеарные векторы называют сонаправленными, если их направления совпадают, обозначают` а ` b, в противном случае векторы противоположно направленные, это обозначают ` а ` b;

- ортом вектора ` а называется вектор ` а ^о такой, что ` а ` а ^о и =1(рис.1);

- ненулевые векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях;

- углом между векторами называется наименьший угол, на который нужно повернуть один из них, чтобы направления этих векторов совпали; обозначают угол между векторами ` а и` b символом ;

- векторы называются ортогональными, если угол между ними равен 90^о; ортогональность векторов ` а и` b обозначают ` а ^` b;

- проекцией вектора ` а на вектор ` b называется число
.

Линейными операциями над векторами называют сложение векторов и умножение вектора на число.

Суммой векторов ` а и` b называется вектор , который можно найти:

 

а) по правилу треугольника (рис. 2);

 

б) по правилу параллелограмма (рис.3).

Разность векторов` а и` b определяется равенством = + (–` b), где () – вектор, противоположный вектору` b.

Напомним, что в параллелограмме ОАСВ (рис.2) сумма есть вектор-диагональ , исходящая из общего начала О векторов и` b, а разность этих векторов есть другая вектор-диагональ – вектор, направленный из конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого.

Произведением вектора на число a ¹ 0 называется вектор a , модуль которого равен |a|.| |, а направление совпадает с направлением вектора , если a > 0, и противоположно направлению вектора , если a < 0 (рис.4).

Используя операцию умножения и определение орта вектора, "` а можно записать: = | |.` а ^о и наоборот, ` а ^о = .

Справедлива также следующая теорема:

Теорема3.1.

Векторы ` а и` b коллинеарны тогда и только тогда, когда существует отличное от нуля число a такое, что = a .

Доказательство: 1) если = a , a ¹ 0, то, по определению произведения вектора на число, ` а и` b коллинеарны.

2) Пусть ` а и` b коллинеарны. Рассмотрим ` а <sup>о</sup> и ` b ^о, они, очевидно, тоже коллинеарны. Значит, либо ` а <sup>о</sup> ` b ^о, либо ` а <sup>о</sup> ` b ^о и |` а <sup>о</sup>| = |` b ^о| = 1. Но тогда либо ` а <sup>о</sup> =` b ^о, ` а <sup>о</sup> = –` b ^о, откуда = , или = – . Следовательно, либо , либо , но это и означает, что существует a = такое, что = a . ЧТД.

Нетрудно показать, что введенные выше линейные операции обладают свойствами:

1)

2)

3) + (– ) =`0

4) (a + b) = a + b

5) (ab) = a(b )

6) a( + ) = a + a

7)

8)