Скалярное произведение векторов.





Векторная алгебра.

В природе имеют место векторные и скалярные величины. Скалярная величина характеризуется только числом (температура, время, масса). Векторные величины характеризуются величиной и направлением в пространстве.

Вектором называется отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление в пространстве.

B Обозначение АВ, a.

a

A |AB|, |a| − длина вектора.

 

 

Два вектора называются равными, если 1) их длины равны, 2) векторы параллельны имеют одинаковое направление в пространстве.

a = b. B

a C

b

A AB ≠ CD

D

       
   
 
 


AB = a, CD = - a

 

 

Сложение векторов.

Суммой двух векторов называется третий вектор, исходящий из их общего начала, и являющийся диагональю параллелограмма, построенного на слагаемых векторах как на сторонах. c = a + b

B

C AC = b, a + AC = c

b c

b c

O a A b

a

правило треугольника

Правило треугольника распространяется на сложение большего числа векторов.

 

c

a+b+cd

ba + b + c =

a

В конце предыдущего вектора помещается начало последующего. Вектор, замыкающий эту ломаную, есть вектор суммы. Начало его совпадает с началом первого вектора, а конец с концом последнего вектора.


Свойства суммы векторов.

1. a + b = b + a − коммутативность.

2. (a + b) + c = a + (b + c) − сочетательность (ассоциативность).

 

Разность векторов.

Векторc называется разностью векторов c = a – b, если b + c = a.

 
 

 

 


b c = a - b

 

 

a

 

Умножение вектора на число.

Произведением вектораa на числоλ называется вектор, длина которого равна

|λ|∙|c|, параллельный векторуa и направленный в ту же сторону, что и векторa, если λ > 0,и в противоположную, если λ < 0.

.

a

 

λa (λ > 0)

 

λa (λ < 0)

 

1. (λ + μ) a = λa + μa,

2. λ(μa) = (λμ)∙a.

3. λ( a + b) = λa + λb

 

λb

λ cc = a + b

 

b c (-1)a = -a.

 

a λa

 

Проекция вектора на ось.

Рассмотрим вектор АВ и ось l. ПустьА1 – проекция точки А на ось l,

В1 – проекция точки В на ось l.

Проекцией вектора АВ на ось l называется число, равное длине вектора А1В1, расположенного на оси, взятой со знаком (+), если направление вектора А1В1совпадает с направлением оси и со знаком (−), если эти направления противоположны.

B B


A A

 

B1 A1 l

A1 B1 l

 

 

 

Теоремы о проекциях.

1.

  1. Проекция суммы векторов равна сумме проекций.

 

a b


c=a+b

 

       
   


A1 A2 A3

 

Координаты вектора.

Рассмотрим три единичных взаимно перпендикулярных вектора i, j, k, образующих правую тройку.

kk

 

 

j i

 

j

i

правая тройка левая тройка.

 

 

|i| = |j| = |k| = 1. Единичные векторы i, j, k называются ортами.

В направлении каждого из этих векторов проведем оси. Получим пространственную систему координат.

= X i + Y j + Z k (*)

 

 


z

M3

М

 

 
 


k

 

j M2 y

i

M 1

P

x

 

X, Y, Z – проекции вектора на оси координат. Числа X, Y, Z называются координатами вектора . Соотношение (*) устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами и упорядоченными тройками чисел – координатами векторов.

= {X, Y, Z}.

i = {1, 0, 0}; j = {0, 1, 0}; k = {0, 0, 1}.

 

Действия над векторами, заданными своими координатами.

1. При сложении векторов их одноименные координаты складываются, а при вычитании вычитаются.

a ± b = X1 i +Y1 j + Z1 k ± (X2 i + Y2 j + Z2 k) = (X1 ± X2) i + (Y1 ± Y2) j ± (Z1 ± Z2) k.

2. При умножении вектора на число координаты его умножаются на то же число.

a = X1 i +Y1 j + Z1 k. λa = λX1 i + λY1 j + λZ1 k.

Следствие.

Условие коллинеарности (параллельности) векторов. Пусть ab. b = |b|/|a| ∙a.
|b|/|a|
= λ, b = λ a. Тогда получим X2 = λ X1, Y2 = λY1, Z2 = λZ1.

Скалярное произведение векторов.

Рассмотрим два вектора a и b.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

(a b) = |a| |b| cos φ = a| |b| cos

b

φ a

Заметим, что |b| cos φ = прa b. Следовательно, (a b) = |a| прa b или (a b) = |b| прb a.

Понятие скалярного произведения имеет свой источник в физике. Действительно, если a - сила, b – перемещение, то (a b) – работа этой силы.





©2015-2018 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!