Эллипсоид – это поверхность в пространстве R3, которая задается уравнением
(1)
Изучим строение поверхности методом сечений. Рассмотрим сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
1) Пусть x=x0. Это плоскость, параллельная координатной плоскости Oyz. Тогда
или
(2)
Разделим обе части уравнения (2) на выражение, стоящее в правой части:
(3)
Очевидно, что это каноническое уравнение центрального эллипса с полуосями
(4)
Такой эллипс существует лишь в том случае, когда выполняется естественное ограничение на подкоренное выражение:
или
(5)
2) Пусть y=y0. Это плоскость, параллельная координатной плоскости Oxz. Тогда
или
(6)
Разделим обе части уравнения (6) на выражение, стоящее в правой части:
(7)
Очевидно, что это каноническое уравнение центрального эллипса с полуосями
(8)
Такой эллипс существует лишь в том случае, когда выполняется естественное ограничение на подкоренное выражение:
или
(9)
3) Пусть z=z0. Это плоскость, параллельная координатной плоскости Oxy. Тогда
или
(10)
Разделим обе части уравнения (6) на выражение, стоящее в правой части:
(11)
Очевидно, что это каноническое уравнение центрального эллипса с полуосями
(12)
Такой эллипс существует лишь в том случае, когда выполняется естественное ограничение на подкоренное выражение:
или
(13)
Рис.1
Однополостный гиперболоид – это поверхность в пространстве R3, которая задается уравнением
(14)
Изучим строение этой поверхности методом сечений. Рассмотрим сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
1) Пусть x=x0. Это плоскость, параллельная координатной плоскости Oyz. Тогда
или
(15)
Разделим обе части уравнения (2) на выражение, стоящее в правой части:
(16)
Очевидно, что это каноническое уравнение центральной гиперболы с полуосями
(17)
и асимптотами
(18)
2) Пусть y=y0. Это плоскость, параллельная координатной плоскости Oxz. Тогда
или
(10)
Разделим обе части уравнения (10) на выражение, стоящее в правой части:
(11)
Очевидно, что это каноническое уравнение центральной гиперболы с полуосями
(12)
Такая гипербола существует лишь в том случае, когда выполняется естественное ограничение на подкоренное выражение:
или
(13)
3) Пусть z=z0. Это плоскость, параллельная координатной плоскости Oxy. Тогда
или
(14)
Разделим обе части уравнения (14) на выражение, стоящее в правой части:
(15)
Очевидно, что это каноническое уравнение центрального эллипса с полуосями
(16)
При z0=0 получаем эллипс наименьшего размера, а именно
(17)
Рис.2
Двухполостный гиперболоид – это поверхность в пространстве R3, которая задается уравнением
(19)
Изучим строение этой поверхности методом сечений. Рассмотрим сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
1) Пусть x=x0. Это плоскость, параллельная координатной плоскости Oyz. Тогда
или
(20)
Разделим обе части уравнения (20) на выражение, стоящее в правой части:
(21)
Очевидно, что это каноническое уравнение сопряженной центральной гиперболы с полуосями
(22)
и асимптотами
(23)
2) Пусть y=y0. Это плоскость, параллельная координатной плоскости Oxz. Тогда
или
(24)
Разделим обе части уравнения (24) на выражение, стоящее в правой части:
(25)
Очевидно, что это каноническое уравнение сопряженной центральной гиперболы с полуосями
(26)
и с асимптотами
(27)
3) Пусть z=z0. Это плоскость, параллельная координатной плоскости Oxy. Тогда
или
(28)
Разделим обе части уравнения (28) на выражение, стоящее в правой части:
(29)
Очевидно, что это каноническое уравнение центрального эллипса с полуосями
(30)
Из (30) видно, что
или
Рис. 3
Эллиптический параболоид – это поверхность в пространстве R3, которая задается уравнением
(31)
Изучим строение этой поверхности методом сечений. Рассмотрим сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
1) Пусть x=x0. Это плоскость, параллельная координатной плоскости Oyz. Тогда
или
(32)
Очевидно, что это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке
и ветвями в направлении оси Oz.
2) Пусть y=y0. Это плоскость, параллельная координатной плоскости Oxz. Тогда
или
(33)
Очевидно, что это также каноническое уравнение параболы с вершиной в точке
и ветвями в направлении оси Oz.
3) Пусть z=z0. Это плоскость, параллельная координатной плоскости Oxy. Тогда
(34)
Разделим обе части уравнения (34) на z0:
Это каноническое уравнение центрального эллипса с полуосями 
.
Рис. 4
Ниже представлен рисунок, выполненный в среде Mathcad и представляющий также эллиптический параболоид
Рис. 5
Конус – это поверхность в пространстве R3, которая задается уравнением
(19)
Изучим строение этой поверхности методом сечений. Рассмотрим сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
1) Пусть x=x0. Это плоскость, параллельная координатной плоскости Oyz. Тогда
или
(20)
Разделим обе части уравнения (20) на выражение, стоящее в правой части:
(21)
Очевидно, что это каноническое уравнение сопряженной центральной гиперболы с полуосями
(22)
и асимптотами
(23)
2) Пусть y=y0. Это плоскость, параллельная координатной плоскости Oxz. Тогда
или
(24)
Разделим обе части уравнения (24) на выражение, стоящее в правой части:
(25)
Очевидно, что это каноническое уравнение сопряженной центральной гиперболы с полуосями
(26)
и с асимптотами
(27)
3) Пусть z=z0. Это плоскость, параллельная координатной плоскости Oxy. Тогда
или
(28)
Разделим обе части уравнения (28) на выражение, стоящее в правой части:
(29)
Очевидно, что это каноническое уравнение центрального эллипса с полуосями
(30)
Из (30) видно, что
или
Рис. 6