Определение 1. Пусть функция 
определена на 
. Вектор 
называется релаксационным направлением (направлением убывания) функции в точке 
, если существует число 
такое, что для любого 
выполняется неравенство 
.
Обозначим множество релаксационных направлений функции в точке через 
.
Теорема 1. Пусть функция выпукла на . Тогда для любого 
множество – выпуклый конус.
Доказательство. Пустьвектор 
, чи-сло 
. Тогда согласно определению 1 имеем
для любого 
, то естьвектор 
.
Проверим теперь выполнение второго требования определения выпуклого конуса. Пустьвекторы 
. Согласно определению 1 найдутся 
такие, что 
при всех и 
при всех 
. Таким образом, оба неравенства справедливы при всех 
, где 
. В силу выпуклости функции имеем
.
Следовательно, 
, то есть 
при всех 
, где 
. Итак, 
. Что и требовалось.
Релаксационные направления часто используются как при исследовании задач на минимум, так и в различных методах решения оптимиза-ционных задач. В случае, когда решается задача максимизации, используются направления возрастания функции в точке, удовлетворяющие неравенству 
при .
Определение 1 не всегда позволяет непосредственно отыскивать релаксационные направления функции или устанавливать их отсутствие. Для выпуклых дифференцируемых функций в этом может помочь следующая теорема.
Теорема 2. Пусть – выпуклая дифференцируемая в точке функция. Тогда
. (1)
Доказательство. Докажем сначала включение во множество 
. Пусть . Тогда существует такое, что 
, 
. Из теоремы 4.1 получаем 
. Из этих двух неравенств и следует 
. Что и требовалось.
Докажем обратное включение. Пусть имеет место неравенство 
. Так как по условию функция дифференцируема в точке , имеем 
, где 
. Поэтому для достаточно ма-лых 
знак приращения функции совпадает со знаком произведения 
. Тогда существует такое, что , , то есть . Что и требовалось.
Заметим, что при доказательстве второго включения выпуклость функции не использовалась.
Заметим также, что в условиях теоремы 2
при 
конус является открытым полупространством.
Наконец, легко увидеть, что если функция вогнута и дифференцируема в точке , то вектор 
является направлением возрастания функции в точке тогда и только тогда, когда выполняется неравенство 
.
В случае, когда функция 
линейна (
), а значит, выпукла и вогнута одновременно, неравенство 
задает конус направлений убывания, а 
– конус направлений возрастания в любой точке .
Определение 2. Пусть 
– множество из , точка 
. Вектор называется возможным направлением в точке для множества , если существует число такое, что 
для любого 
.
Обозначим множество возможных направлений в точке для множества через 
.
Теорема 3. Пусть 
– выпуклое множество, . Тогда – выпуклый конус.
Доказательство. Пусть вектор 
, число . Тогда согласно определению 1 имеем 
для любого 
, то естьвектор 
.
Проверим теперь выполнение второго требования определения выпуклого конуса. Пустьвекторы 
. Согласно определению 2 найдутся такие, что при всех и 
при всех 
. Таким образом, эти включения справедливы при всех 
, где . В силу выпуклости множества имеем 
, то есть 
при всех 
, где 
. Таким образом, 
. Что и требовалось.
Заметим, что если 
, то 
.
Теорема 4. Если – выпуклое множество, точки 
, то вектор 
.
Справедливость этого утверждения непосредственно следует из определений выпуклого множества и возможного направления.
При исследовании задач на условный экстремум нам понадобятся так называемые условно релаксационные направления.
Определение 3. Пусть функция определена на множестве , точка . Вектор называется условно релаксационным направлением функции в точке относительно множества , если в этой точке направление
является возможным для и релаксационным для функции .
Обозначим множество условно релаксационных направлений функции в точке через 
. Итак, 
, а значит, в условиях теорем 1 и 3 множество 
является выпуклым конусом.