Тема: Множественная регрессия и корреляция.

Лабораторная работа №2

Представлены данные о величине ежемесячных доходов (тыс. у.е.ыс. е о величине ежемесячных доходов ()), затратах на питание (тыс. у.е.ыс. е о величине ежемесячных доходов ()) и численности членов семьи (человек).

Семья
Расходы на питание, тыс.у.е. (Y)	2,4	4,8	3,9	5,9	7,5	3,5	2,1	5,4	3,3	4,2	3,4	1,6
Доход семьи, тыс.у.е. (X1)	7,8	12,5	12,9	14,6	22,7	10,5	5,4	18,8	9,6	14,6	9,1	5,2
Количество членов семьи (X2)

Задание:

1. Рассчитать парные и частные коэффициенты корреляции. Проанализировать линейные коэффициенты парной и частной корреляции.

2. Построить уравнение множественной регрессии в стандартизованной и естественной форме.

3. Рассчитать частные коэффициенты эластичности, сравнить их с -коэффициентами, пояснить различия между ними.

4. Рассчитать коэффициент множественной корреляции и значение скорректированного коэффициента множественной детерминации.

5. С помощью общего F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии на 95% уровне.

6. С помощью частных F-критериев Фишера оценить, насколько целесообразно включение в уравнение регрессии фактора после фактора и насколько целесообразно включение в уравнение регрессии фактора после фактора .

7. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов при переменных и множественного уравнения регрессии.

8. Построить 95% доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.

Решение.

1). Рассчитаем средние значения и средние квадратические отклонения переменных. Вычисления запишем в таблицу:

Таблица 1

№ п/п	Y	X1	X2

	2,4	7,8
	4,8	12,5
	3,9	12,9
	5,9	14,6
	7,5	22,7
	3,5	10,5
	2,1	5,4
	5,4	18,8
	3,3	9,6
	4,2	14,6
	3,4	9,1
	1,6	5,2
Сум ма		143,7
Сред нее		11,98	2,5
σ	1,621	4,993	1,190

Определим парные коэффициенты корреляции по формулам, для этого построим корреляционную матрицу, используя функцию «Сервиз. Анализ данных. Корреляция» табличного процессора MS Excel. В появившемся окне отмечаем «Метки в первой строке», «Группирование по столбцам», «Входной интервал» (выделяем весь диапазон данных с названием столбцов) и «Выходной интервал» (указать одну ячейку) или «Новый рабочий лист». Получим следующую таблицу:

Таблица 2

	Y	X1	X2
Y
X1	0,952161
X2	0,924184	0,935994

Из матрицы выпишем , , ,

Значение парного коэффициента корреляции свидетельствует о сильной линейной связи между переменными и . Связь между и немного слабее. Кроме того, связь между переменными и также довольно сильная. Таким образом, можно сделать предварительное заключение, что доход семьи существенно влияет на расходы на питание, при этом количество членов семьи имеет также большое влияние.

Рассчитаем частные коэффициенты корреляции по формулам:

Коэффициенты частной корреляции свидетельствуют о средней связи между и , другие связи значительно слабее. При сравнении коэффициентов парной и частной корреляции видно, что из-за влияния межфакторной зависимости между и происходит завышение оценки тесноты связи между переменными.

2). Линейное уравнение регрессии от и имеет вид:

Для расчета его параметров используем функцию «Сервис. Анализ данных. Регрессия». Задав соответствующие диапазоны данных в окне, получим таблицы:

Таблица 3

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,95675549
R-квадрат	0,91538107
Нормированный R-квадрат	0,89657687
Стандартная ошибка	0,54455701
Наблюдения

Таблица 4

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значи-мость F
Регрессия		28,871119	14,43556	48,6796	1E-05
Остаток		2,668881	0,296542
Итого		31,54

Таблица 5

	Коэффи-циенты	Стандарт-ная ошибка	t-ста-тистика	P-Зна- чение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	0,36006	0,413540	0,87068	0,4065	-0,5754	1,29556	-0,5754	1,29556
Переменная X 1	0,228308	0,0894393	2,552663	0,03106	0,026	0,43063	0,0259	0,43063
Переменная X 2	0,362377	0,3751956	0,965835	0,35936	-0,4864	1,21113	-0,4864	1,21113

Из таблицы 5 находим коэффициенты и получим уравнение регрессии в естественной форме .

Интерпретация коэффициентов регрессии. Константа оценивает агрегированное влияние прочих (кроме учтенных в модели и ) факторов на результат и означает, что расходы на питание вне зависимости от доходов и количества членов семьи составили бы 0,36 тыс.у.е. Коэффициенты b₁ и b₂ указывают, что с увеличением и на единицу их значений расходы на питание увеличиваются, соответственно, на 228 и 362 условные денежные единицы.

Для построения уравнения регрессии в стандартизованной форме , -коэффициенты, используя формулы для перехода от к :

;

; .

Получим уравнение в стандартизованном масштабе

3). Для характеристики относительной силы влияния и на рассчитаем средние коэффициенты эластичности:

;

Значение коэффициентов эластичности позволяет сделать вывод о большем влиянии на расходы на питание дохода семьи, нежели количества членов семьи. В частности с увеличением среднего дохода семьи () на 1% от своего среднего уровня и при фиксированном воздействии на y другого фактора x₂ расходы на питание возрастут на 0,683%.

К аналогичным выводам о силе влияния приходим при сравнении модулей значений стандартизованных коэффициентов и :

Различия в силе влияния фактора на результат, полученные при сравнении и , объясняются тем, что коэффициент эластичности исходит из соотношения средних, а -коэффициент из соотношения средних квадратических отклонений.

4). Из таблицы 3 находим множественный коэффициент корреляции, множественный коэффициент детерминации и скорректированный (нормированный) коэффициент детерминации:

, .

Зависимость от и характеризуется как тесная, в которой 91,5% вариации расходов на питание определяются вариацией учтенных в модели факторов: дохода семьи и количества членов семьи. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 8,1% от общей вариации .

Скорректированный индекс множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы.

5). Общий F-критерий проверяет гипотезу о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи:

Проверим значимость уравнения регрессии на 95%уровне. Находим фактическое значение F статистики в таблице 4:

По таблице распределения Фишера находим F_0,05;2;9=4,26.

Так как 48,68= F > F_0,05;2;9=4,26, то нулевая гипотеза отклоняется, и с вероятностью 0,95 делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи, которые сформировались под неслучайным воздействием факторов и .

6). Частные F-критерии - и оценивают статистическую значимость присутствия факторов и в уравнении множественной регрессии. оценивает, насколько целесообразно включение в уравнение регрессии фактора после фактора , а указывает целесообразность включения в уравнение регрессии фактора после фактора .

Фактическое значение частного F-критерия рассчитываетcя по формуле:
.

Находим .

Так как , то гипотезу о несущественности прироста за счет включения дополнительного фактора отклоняем, и приходим к выводу о статистически подтвержденной целесообразности включения в уравнение регрессии фактора после фактора .

Целесообразность включения в модель фактора после фактора проверяет :

Так как , то гипотезу о несущественности прироста за счет включения дополнительного фактора принимаем. Это означает нецелесообразность включения в уравнение регрессии фактора после фактора .

7). Оценка с помощью t-критерия Стьюдента значимости коэффициентов и связана с сопоставлением их значений с величиной их случайных ошибок и . Расчёт значений случайных ошибок достаточно сложен и трудоёмок. Поэтому рассчитаем значения t-критерия Стьюдента по следующим формулам:

;

Табличные (критические) значения t-критерия Стьюдента зависят от принятого уровня значимости и от числа степеней свободы , где -число единиц совокупности, -число факторов в уравнении.

В нашем примере . Так как , то коэффициент регрессии является статистически значимым и надежным в силу того, что формируются преимущественно под воздействием неслучайных факторов. Так как , то коэффициент регрессии является статистически незначимым, ненадежным в силу того, что формируется преимущественно под воздействием случайных факторов.

8). Аналогичные выводы можно сделать по доверительным интервалам для коэффициентов регрессии. Границы доверительных интервалов выпишем из таблицы 5:

0,0259≤b₁≤0,43; -0,486≤b₂≤1,212.

Проверка значимости коэффициентов: поскольку доверительный интервал для b₁ не включают в себя ноль, то этот коэффициент значим, а доверительный интервал для b₂ включает в себя ноль, то этот коэффициент не значим. Еще раз подтверждается статистическая значимость влияния на и ненадежность, незначимость влияния на .

Проведенные выше исследования показывают, что в данном примере парная регрессионная модель зависимости расходов на питание от доходов семьи является достаточно статистически значимой, и нет необходимости улучшать ее, включая дополнительный фактор (количество членов семьи).

Варианты индивидуальных заданий

По 10 однотипным фирмам (i – номер фирмы) имеются данные за год по зависимости цены товара y_i, тыс. руб. от дальности его перевозки x_i₁, км и расходов на рекламу в месяц x_i₂, тыс. руб. (варианты 1 – 21).

2.1

i
y_i	48,72	53,02	51,39	73,71	67,16	69,27	42,09	46,42	51,11	49,09
x_i₁
x_i₂

2.2

i
y_i	47,22	50,41	49,39	70,61	65,16	67,07	40,59	71,51	64,46	66,67
x_i1
x_i2

2.3

i
y_i	39,99	45,92	48,81	47,59	67,91	62,56	64,47	39,69	47,62	49,41
x_i1
x_i2

2.4

i
y_i	48,79	68,01	63,76	65,47	41,39	36,52	36,61	36,19	52,51	49,56
x_i₁
x_i₂

2.5

i
y_i	51,07	31,09	35,42	33,71	34,09	48,31	47,06	48,27	30,19	40,32
x_i₁
x_i₂

2.6

i
y_i	35,42	34,61	35,59	52,51	50,96	52,17	28,99	41,91	42,49	63,31
x_i₁
x_i₂

2.7

i
y_i	59,86	61,37	32,89	49,52	52,21	52,19	74,11	69,56	71,27	42,09
x_i₁
x_i₂

2.8

i
y_i	36,22	38,01	37,39	56,61	52,36	54,07	29,99	50,12	51,91	51,29
x_i₁
x_i₂

2.9

i
y_i	70,51	66,26	67,97	43,89	37,52	35,91	35,69	49,11	47,46	48,77
x_i₁
x_i₂

2.10

i
y_i	32,89	49,92	51,81	50,59	69,01	64,36	66,17	44,29	49,92	50,91
x_i₁
x_i₂

2.11

i
y_i	51,09	70,11	66,86	68,37	43,29	40,72	40,81	40,39	56,71	53,76
x_i₁
x_i₂

2.12

i
y_i	55,27	35,29	42,92	46,51	45,09	66,41	60,46	62,47	36,49	58,02
x_i₁
x_i₂

2.13

i
y_i	62,61	61,19	81,41	77,76	79,87	50,99	44,72	46,61	45,39	63,81
x_i₁
x_i₂

2.14

i
y_i	59,16	60,97	39,09	37,92	39,21	39,59	59,51	56,16	57,67	30,89
x_i₁
x_i₂

2.15

i
y_i	42,82	43,81	43,99	63,01	59,76	61,27	36,19	47,12	49,21	48,79
x_i₁
x_i₂

2.16

i
y_i	68,91	64,56	66,27	40,49	51,12	50,71	51,29	68,31	66,26	67,57
x_i₁
x_i₂

2.17

i
y_i	44,89	53,12	57,01	55,79	78,01	71,96	73,97	46,29	43,12	45,71
x_i₁
x_i₂

2.18

i
y_i	44,29	63,71	58,46	60,37	37,29	53,12	56,61	55,79	77,91	72,36
x_i₁
x_i₂

2.19

i
y_i	74,27	46,09	49,52	51,21	51,19	71,21	67,36	68,97	42,69	43,72
x_i₁
x_i₂

2.20

i
y_i	48,01	46,39	68,71	62,16	64,27	37,09	47,22	50,51	48,89	69,31
x_i₁
x_i₂

2.21

i
y_i	63,46	65,47	41,19	36,92	39,41	38,59	58,81	53,96	55,77	30,49
x_i₁
x_i₂

2.22

При изучении влияния стоимости основных и оборотных средств на величину валового дохода по 12 торговым предприятиям были получены следующие данные:

Номер предприятия	Валовой доход за год, млн. руб. (y)	Среднегодовая стоимость, млн. руб.
основных фондов	оборотных фондов

2.23

Имеются данные о деятельности крупнейших компаний США в 1996 г.

№ п/п	Чистый доход, млрд. долл. США, y	Оборот капитала, млрд. долл. США, x₁	Использованный капитал, млрд. долл. США, x₂
	6,6	6,9	83,6
	3,0	18,0	6,5
	6,5	107,9	50,4
	3,3	16,7	15,4
	0,1	79,6	29,6
	3,6	16,2	13,3
	1,5	5,9	5,9
	5,5	53,1
	2,4	18,8	11,2
	3,0	35,3	16,4

2.24

Имеются данные о деятельности крупнейших компаний США в 1996 г.

№ п/п	Чистый доход, млрд. долл. США, y	Оборот капитала, млрд. долл. США, x₁	Использованный капитал, млрд. долл. США, x₂
	4,2	71,9	32,5
	2,7	93,6	25,4
	1,6	10,0	6,4
	2,4	31,5	12,5
	3,3	36,7	14,3
	1,8	13,8	6,5
	2,4	64,8	22,7
	1,6	30,4	15,8
	1,4	12,1	9,3
	0,9	31,3	18,9

2.25

Имеются данные по странам

Страна	Индекс человеческого развития, y	Ожидаемая продолжительность жизни при рождении в 1997г., лет x₁	Суточная калорийность питания населения, ккал на душу, x₂
1 Австрия	0,904	77,0
2 Австралия	0,922	78,0
3 Аргентина	0,827	72,9
4 Белоруссия	0,763	68,0
5 Бельгия	0,923	77,2
6 Бразилия	0,739	66,8
7 Великобритания	0,918	77,2
8 Венгрия	0,795	70,9
9 Германия	0,906	77,2
10 Греция	0,867	78,1
11 Дания	0,905	75,7
12 Египет	0,616	66,3

2.26

Имеются данные по странам

Страна	Индекс человеческого развития, y	Ожидаемая продолжительность жизни при рождении в 1997г., лет x₁	Суточная калорийность питания населения, ккал на душу, x₂
1 Израиль	0,883	77,8
2 Индия	0,545	62,6
3 Испания	0,894	78,0
4 Италия	0,900	78,2
5 Канада	0,932	79,0
6 Казахстан	0,740	67,7
7 Китай	0,701	69,8
8 Латвия	0,744	68,4
9 Нидерланды	0,921	77,9
10 Норвегия	0,927	78,1
11 Польша	0,802	72,5
12 Республика Корея	0,852	72,4

2.27 Имеются данные по странам

Страна	Индекс человеческого развития, y	Ожидаемая продолжительность жизни при рождении в 1997г., лет x₁	Суточная калорийность питания населения, ккал на душу, x₂
1 Россия	0,747	66,6
2 Румыния	0,752	69,9
3 США	0,927	76,6
4 Турция	0,728	69,0
5 Украина	0,721	68,8
6 Финляндия	0,913	76,8
7 Франция	0,918	78,1
8 Чехия	0,833	73,9
9 Швейцария	0,914	78,6
10 Швеция	0,923	78,5
11 ЮАР	0,695	64,1
12 Япония	0,924	80,0

2.28 Имеются данные о рынке строящегося жилья в Санкт-Петербурге: y - цену квартиры, тыс. долл.; x₁ - количество комнат в квартире; x₂ - общая площадь квартиры, м².

№ п/п	y	x₁	x₂
	15,9		39,0
	27,0		68,4
	13,5		34,8
	15,1		39,0
	21,1		54,7
	28,7		74,7
	27,2		71,7
	28,3		74,5
	52,3		137,7
	22,0		40,0

2.29 Имеются данные о рынке строящегося жилья в Санкт-Петербурге: y - цену квартиры, тыс. долл.; x₁ - количество комнат в квартире; x₂ - общая площадь квартиры, м².

№ п/п	y	x₁	x₂
	28,0		53,0
	45,0		86,0
	51,0		98,0
	34,4		62,6
	24,7		45,3
	30,8		56,4
	15,9		37,0
	29,		67,5
	15,4		37,0
	28,6		69,0

2.30 Имеются данные о рынке строящегося жилья в Санкт-Петербурге: y - цена квартиры, тыс. долл.; x₁ - количество комнат в квартире; x₂ - общая площадь квартиры, м².

№ п/п	y	x₁	x₂
	15,6		40,0
	27,7		69,1
	34,1		68,1
	37,7		758,3
	41,9		83,7
	24,4		48,7
	21,3		39,9
	36,7		68,6
	21,5		39,0
	26,4		48,6

2.31 Имеются данные о рынке строящегося жилья в Санкт-Петербурге: y - цена квартиры, тыс. долл.; x₁ - колич

Тема: Множественная регрессия и корреляция.

Поиск по сайту