Постановка задачи
Одним из основных элементов строительных конструкций является балка. Возьмём балку (швеллер №40, последний из ряда, предлагаемого ГОСТом таблиц сортамента) [5]. Определим необходимую кинетическую энергию, необходимую для того, чтобы балка потеряла прочность.
Рассмотрим схему, приведённую на рисунке.
Будем считать, что прямое разрушение балки и есть разрушение конструкции, или нарушение герметичности сооружения.
Разрушение может наступить в случае, если
§ превзойдён предел прочности металла, а именно 
или
§ нарушена жёсткость балки, а именно прогиб балки в месте приложения силы 
.
Так, для консольной балки 
, для пролётов
,
где l - длина балки (положим l = 4 м).
Оценим максимально допустимую нагрузку на балку. Проведём расчёт на прочность и жёсткость.
[3]
где P - вес груза в центре балки (P = mg, g - ускорение свободного падения),
l = 4 м
- момент сопротивления сечения балки.
Максимальный прогиб
Вывод. Итак, максимальная масса, которую может выдержать балка, 
Если же груз падает со скоростью 
, то возникают динамические напряжения, которые можно рассчитать по формуле 
, где Кд - динамический коэффициент. Тогда максимально допустимая масса уменьшается:
Если предположить, что падающее тело имеет шарообразную форму, то можно оценить радиус шара по формуле:
в случае, если 
.
Если же 
, то
Графики зависимости 
и 
показывают, что с увеличением скорости масса, необходимая для разрушения балки, уменьшается. Так, при
 |
График зависимости радиуса космического тела в виде шара от скорости падения на балку.
График зависимости массы космического тела в виде шара от скорости падения на балку.
График зависимости предельной кинетической энергии шара от скорости.
Кинетическая энергия шара под прямой недостаточна для разрушения шара.
Процесс торможения падающих космических тел атмосферой Земли настолько сложен, противоречив и индивидуален, что требует для своего описания решения системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. При движении космического тела в атмосфере скорость и масса убывают. Это приводит к парадоксам. Например,
§ кинетическая энергия в начальный момент времени равна
,
§ кинетическая энергия тела через время 
равна
.
Авторы [1, 79] утверждают, что "… метеорное тело тормозится, нагревается, крошится, плавится и испаряется. Но это только внешние признаки!
а) Предположим, что от космического тела откололся кусок массой 
и летит он со скоростью 
(крошится). Тогда в соответствии с законом сохранения энергии
Запишем то же самое в несколько иной форме:
Получается, что 
, а 
, чего не может быть!
б) Предположим, что кусок массой 
испарился, тогда теплота парообразования r
и
Получается, что , а 
, чего также не может быть!
Получается, что не так всё просто, как кажется на первый взгляд.
Поэтому ограничимся рассмотрением частного случая, достаточно хорошо изученного типа движения.
Предположим, что космическое тело при входе в земную атмосферу имеет нулевую скорость. И начинает двигаться в атмосфере под действием силы тяжести, тогда скорость будет изменяться (переменная величина), а масса тела - нет (постоянная величина). Уравнение движения можно будет записать в виде
, где m - масса тела,
v - скорость движения тела,
α - коэффициент сопротивления воздуха.
Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
Приведём его к виду, удобному для интегрирования:
, где 
- скорость парашютирования.
При 
.
Если 
, тогда 
График зависимости скорости падения шара от его начальной скорости.
Это известный факт, который проверен: если начальная скорость тела больше или меньше а, то через некоторое время из-за действия на тело сопротивления воздуха скорость тела становится равной скорости парашютирования. Плотность воздуха меняется с высотой, что приводит к зависимости плотности от высоты и коэффициента α. В данной работе берётся среднее и постоянное значение параметра α.
Возьмём среднее значение 
, тогда
По расчётному графику найдём R(100) = 0,15 м, m(100) = 109 кг.
Т.е. если на балку упадёт железный шар диаметром 30 см, то она выдержит, но если диаметр шара будет больше 30 см, то она разрушится, что может привести к аварийной ситуации.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При описании процесса торможения космических тел атмосферой Земли исследователь сталкивается с противоречиями, которые не позволяют сформулировать проблему одним уравнением. Предлагается решать как минимум две задачи:
1. изменение скорости тела при постоянной массе;
2. изменение массы во времени при скорости тела, равной нулю (это задача термической возгонки [6], где при помощи нагрева поверхности реакционной массы сепарируют металлы, имеющие температуру испарения меньшую, чем температура испарения основного блока; при этом блок закреплён в реторте и имеет скорость, равную нулю).
Изучение торможения космических тел атмосферой Земли имеет большое практическое значение. Для изучения этих процессов потребуется специальное математическое обеспечение. В рамках данного доклада не представляется возможным описать, даже часть тех сложных процессов, которые происходят при торможении атмосферой Земли космических тел. Тем не менее, исследование даже простой модели может дать правильный порядок величин описываемого явления. Можно провести аналогию с моделью математического маятника, которая описывает лишь одно свойство явления - периодичность колебаний и не затрагивает другого свойства - затухания колебаний.
Предполагается, что имеет смысл продолжить в дальнейшем более детальное изучение этого интересного парадоксального явления.
Расчёты были проведены и графики были построены в системе MathCad [4].
ЛИТЕРАТУРА
1. Бабаджанов Л.П. Метеоры и их наблюдение. М.: Наука, 1987.
2. Мосунов А., Максимов А. Вторжение космических тел в атмосферу Земли.
3. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1976.
4. Дьяконов В.П., Абраменкова Н.В. MathCad 8 Pro в математике, физике и Internet.
5. Таблицы сортамента ГОСТ 8240 – 72.
6. Чудинов С.Н. Математическая модель процесса сепарации губчатого титана. Материалы научно-практической конференции ВЗПИ (г. Москва). М., 1992.