В работе показано, что за традиционно понимаемой незыбленностью и конечностью количественных отношений скрывается динамика качественных отношений, определяющая размеренность нашего мира.
Введение термина «размеренность » вместо традиционного – «размерность » обусловлено спецификой русского языка. Так, в словаре С.И. Ожегова [1] находим:
«Размер - величина чего нибудь, в каком нибуть измерении »;
«Размеренность – плавность, ритмичность, неторопливость»;
Русский язык фиксирует, что «размер» – это число, которое показывает количество «раз » отмеренное эталоном размера, а утвердившийся термин «размерность», содержит движение только как процесс измерения.
Тогда как «размеренность » — это ритмическое, несущее в себе гармонию, движение.
Процессом, отображающим природную гармонию движения, являются золотые отношения (пропорции). Золотая гармония это не просто математический аппарат, это система гармонически взаимосвязанных чисел, элементов фигур, или физических свойств, образующих математическую систему, отображающую динамические взаимосвязи свойств тел.
Эта, еще неизвестная науке, гармония пронизывает все научные дисциплины, образуя единую систему знаний.
Золотые отношения математики
Одной из задач геометрии является деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Решением этой задачи будут два алгебраических отношения:
Первое; квадратное уравнение вида:
b2 – b – 1 = 0, (1)
из (1) находятся взаимообратные золотые иррациональные числа: Ф = b = 1,618…; и 1∕ Ф = 1∕ b = 0,618…, произведение которых равно единице. Дробная часть иррациональных чисел названа в [2] мантиссой. Будем придерживаться этого названия.
Второе; пропорциональная взаимосвязь элементов деления отрезка [3]:
а6 = b3 = с2, (2)
где а – меньшая сторона отрезка равная √ Ф = 1,272…, b – представлено отрезком равным Ф = 1,618, и с = √Ф3 = 2,058…– большая сторона отрезка. Они образуют золотой прямоугольный треугольник:
а2 + b2 = с2.
Через отношения (1)-(2) происходит первый качественный переход (скачок) от геометрии к алгебре – геометрические элементы преобразуются в алгебраические символы, теряя все свойства фигур и в первую очередь размеренность. Размеренность это качество, отличающее размерностную физику и геометрию от безразмерностной статической алгебры. Хотя в мышлении за алгебраическими символами продолжают мыслиться операции со статическими геометрическими фигурами.
Иррациональные взаимообратные числа Ф = 1,618; 1∕ Ф = 0,618; Ψ = √Ф = 1,272; 1∕ Ψ = 1 ∕√Ф = 0,786 обусловливают возможность получения золотой геометрической прогрессии со знаменателем q = Ф. Еще в Древней Греции последовательным делением базисной 1 на Ф получали левую убывающую ветвь этой прогрессии, а умножением той же 1 на Ф получали правую возрастающую ветвь.
0 …q-п … q-3q-2 q--1 1 ® q1® q2® q3® …qп® ¥ (3)
Поскольку члены прогрессии (3) неоднократно используются в дальнейшем, приведем числовой фрагмент этого ряда:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0,090; 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1,00; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,09;… (3′)
Базисная 1 - центр прогрессии, как бы нейтральна, и отделяет левую часть ветви от правой. Она число другого качества, единственное рациональное число среди чисел иррациональных. На одинаковом расстоянии справа и слева от базисной 1 находятся взаимообратные золотые числа, соотношение которых, как показано в [5], удовлетворяет формуле:
N = √(qnq--n) = 1,
а отношения их определяется зависимостью:
N′ = qn ± q-n,
где «плюс» соответствует четному показателю, а «минус» нечетному. Для данной последовательности справедлива рекуррентная формула, по которой каждый член ряда равен сумме двух предшествующих чисел:
qn = qn-2 + qn-1.
И складывая попарно взаимообратные числа пропорции (3′), например:
1,618 + (-0,618) = 1; 2,618 + 0,382 = 3; 4,236 + (-0,236) = 4; … и т.д.,
получаем числовую последовательность ряда Люка:
1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; 47; 76; 123; и т.д.
Рассмотрим, какой механизм определяет существование последовательностей Люка, аналогичной последовательности Фибоначчи, любой пары слагаемых последовательности чисел и золотых пропорций, обусловливая рекуррентную зависимость, например, со сдвоенным слагаемым.
Рекуррентное соотношение, структурируемое последовательным сложением любых чисел, базируется на том, что число – сумма двух предыдущих слагаемых, образует некоторую виртуальную числовую конструкцию, в которой каждое слагаемое занимает определенное место. Эта конструкция при последующем сложении не изменяется. И числа, «помня» о своем месте в ней, сдвигаются, не нарушая сложившейся структуры, так что последующее число, включает в себя предыдущие. Это можно показать, составив ряд, например, Люка для числа n = 11из входящих в него чисел и показать последовательность их чередования.
1 2 3 4 5 6 7…
q1; q2; q3; q4; q5; q6; q7
q1; q2; (q1 + q2); (q1+q2 + q2); (q3+q2+q3); (q4+q3+q4); (q5+q4+q5); (4)
1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; …
1; 3 (1+3) (1+3+3) (4+3+4) (7+4+7) (11+7+11)…
7 + 2 х 11 = 29 и т.д.
И в обобщенной форме со сдвоенным слагаемым:
qn = qn-3 + 2 qn-2. (5)
Внутренняя» структура членов ряда Люка, как и других золотых рядов, начиная с четвертого числа от начала, включает в себя три суммируемых предшествующих члена. Первый – отстоит от него на два интервала, второй – на один интервал и повторяется дважды. С пятого числа структура, включая те же три суммируемых члена, изменяется по числовому составу. Первый и последний член отстоят на один интервал, а средний – на два интервала. Процесс сложения отображает некую «внутреннюю» динамику качественно-количественного перемещения членов ряда в числах последовательности. Эту структуру образуют все ряды последовательного сложения любой пары чисел. Именно она обеспечивает разнообразную рекуррентность их членам. Назовем это соотношение «сдвоенность».
Вот эта, начинающаяся с пятого члена ряда пропорции, сдвоенность предыдущего числа в тройственности чисел и является главным свойством золотой пропорции. Сдвоенность в тройственности, скрывающаяся в последовательности золотых чисел, есть математическая основа всего инвариантного вещественного мира, его внутренней динамичности. Именно она и обуславливает рядам Фибоначчи, Люка и другим, например, (3) золотые свойства. Она же является переходом от десятеричной системы счисления к двенадцатеричной [4] и превращает рекуррентные критерии в критерии золотых соотношений и в арифметике, и в алгебре, и в геометрии. Ни одно другое соотношение математики не обладает данными качествами.
Структура золотой прогрессии (3) считается стандартной. Она, как и «все» геометрические прогрессии, подчиняется трем известным соотношениям, которые считаются фундаментальными:
qn = qn-2 + qn-1, – рекуррентность.
qn = q1∙qn-1, – мультипликативность. (6)
qn ↔ q-n – симметрия подобия.
Как было показано выше (5) соотношения (6) не единственны [6],а потому не фундаментальны. Видов их много. Они проявляют себя в золотых матрицах и названы в [6] матричной вязью, о чем ниже.
Аналогично (3) строится прогрессия (7)со знаменателем Ψ, которая названа в[6] русской прогрессией:
0←Ψn…←Ψ-3←Ψ-2←Ψ-1←1→Ψ1→Ψ2→Ψ3→…Ψn →∞ (7)
Геометрическая прогрессия (7) обладает особенностями, выделяющими ее из стандартных прогрессий:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0,300; 0,382; 0,486; 0,618; 0,786; 1,00; 1,272; 1,618; 2,058; 2,618; 3,330; (7′)
Обе прогрессии (3) и (7) имеют ось симметрии, базисную 1, левую и правую ветви и взаимообратные числа в ветвях, равноотстоящие от базиса. Прогрессия (7) обладает свойствами мультипликативности, и симметрией подобия. Дополнительно к (6) проявляют себя свойство рекуррентности через интервал. Например:
Ψn = Ψn-4 + Ψn-2, (8)
рекуррентности с членом, умноженным на целое число. Например:
Ψn = Ψn-3 + 2 Ψn-2, (9)
«смешанной» рекуррентности, когда результат суммы чисел в степени и без нее тоже является членом этого ряда. Например, для первого члена:
Ψn = (Ψn-5) 2 + Ψn-4, (10)
и степенной рекуррентности, сложение, например, квадратов двух последовательных членов ряда дает число, находящееся в том же ряду:
Ψn = (Ψn-2) 2 + (Ψn-1) 2. (11)
Отметим, числа каждого члена ряда можно рассматривать как значения длин некоторых отрезков и отрезки эти, в своей последовательности, могут образовывать геометрическую фигуру - прямоугольный треугольник [7]. Это, еще одно, удивительное свойство бесконечного, иррационального ряда чисел, образовывать набор подобных золотых прямоугольных треугольников, причем при придании любой последовательности троек чисел ряда (например, 2,058; 2,618; 3,330; или 0,236; 0,300; 0,382) значимости отрезков. Треугольники «образуются» и при последовательном сдвиге чисел на одну или две цифры (например, 2,058; 2,618; 3,330 - один треугольник; 2,618; 3,330; 4,236 - другой; 3,330; 4,236; 5,388 - третий и т.д.).
Но можно представить и другую картину. Имеются два ортогональных бесконечных катета, пересекаемых на пропорциональном иррациональном расстоянии параллельными линиями, отрезки которых превращаются в гипотенузы. И это уже не цепочка, а плоскость. И возникает предположение, что прямоугольные треугольники есть элементы прямоугольников, а их катеты - стороны прямоугольников. Продолжение катетов - оси координат х и у на плоскости, а гипотенузы - диагонали образовавшихся прямоугольников. И прорисовывающаяся естественным образом координатная сетка начинает проявляться как образ некоей новой квантованной геометрии.
Прогрессия (7) имеет более существенное отличие от всех геометрических прогрессий, чем наличие в ней системного рекуррентного свойства. Она образует двухрядовую структуру [8]и заполнена, вроде бы, нечетными, не золотыми членами. Но нечетные, как и четные золотые члены ее ветвей через интервал всякий раз пропорциональны Ф и создают внутри прогрессии два качественно различных иррациональных ряда: один золотой тождественный (3), второй подобный ему золотой ряд – который практически не встречается в математической литературе. Данный ряд выпадает по структуре из системы геометрических прогрессий. Покажем это, вычленив из ряда (7) все нечетные числа и образовав из них новую последовательность – золотую пропорцию без базисной единицы:
0,071; 0,115; 0,185; 0,300; 0,486; 0,786; 1,272; 2,058; 3,330; 5,388; 8,718;14,104; (7′′)
Золотая пропорция (7′′) необычна уже тем, что у нее отсутствует базисный центр 1, а, следовательно, нисходящая и восходящая ветви, хотя взаимообратные пары сохраняются. Получается так, что весь ряд в одну сторону восходящий, а в другую – нисходящий. Он не подчиняется симметрии подобия, все же остальные соотношения сохраняются. Именно на принципе ряда без центра построена древнерусская метрология как система соизмерительных инструментов – саженей [9-10].
Отметим, что в принципе может быть получено множество золотых пропорций, имеющих знаменателем как Фn так и n √ Ф, и все их члены будут взаимообратными золотыми в интервале, обусловленном степенью при Ф.
Известно, что геометрическая прогрессия с целым или дробным знаменателем, не равным Фn, в алгебре не связана с золотыми числами и отображает последовательность пропорционально изменяемых равнозначных числовых величин. Тем не менее, знаменатель любого ряда геометрической прогрессии типа (3) всегда можно представить как произведение двух чисел, одно из которых Ф, а другое U – частное от деления знаменателя q на Ф. И тогда геометрические прогрессии типа (3) приобретает следующий вид:
U1Ф1; U2Ф2; U3Ф3; …; UnФn. (12)
От геометрической прогрессии (12) можно перейти к золотому ряду простым сокращением каждого члена ряда qп на соответствующее частное Un:
q1 ∕ U1; q2∕U2; q3∕U3; q4∕U4; …; qп∕Un. (13)
Геометрическая прогрессия (13) является золотой прогрессией, а в числовой записи – греческим или русским рядом. Отсюда можно заключить, что гармонические числовые ряды всех геометрических прогрессий опосредственно включают в себя числа русского или греческого ряда. Данные пропорции обуславливают структуру алгебраических квадратных уравнений, и построение русских объемных матриц [11].
Отметим также, что любое число имеет свой взаимообратный аналог, а, следовательно, включено во множество геометрических прогрессий. Для нахождения отношения к золотому числу достаточно возвести его в квадрат и определить пропорциональность золотым числам Ф и Ψ.
Вернемся к уравнению (1) и рассмотрим его связь с золотыми числами. Это вариант обыкновенного алгебраического квадратного уравнения с одним неизвестным. Общий вид этого уравнения:
aх2 + bх + c = 0. (14)
Как известно, в результате его решения получаем два корня:
x1,2 = [– b ± √ (b2– 4 ac)] ⁄ 2 a (15)
Однако общее уравнение (14) не используется для получения золотых чисел, поскольку подкоренное уравнение может оказаться мнимым. Его искусственно упрощают, положив в (14) а = 1, b = –1 и с = –1, и уравнение приобретает вид (1), а решение (15) оказывается следующим:
х1,2 = [1 ± √(1 + 4)] ⁄2 = (1 ± √5) ⁄2. (16)
При извлечении корня из 5 находим очень интересное иррациональное число:
√5 = 2,236067978…. (17)
Оно хорошо изучено и часто используетсядля объяснения результата решения золотых пропорций. Как известно, для получения золотого числа Ф к нему прибавляется 1 и образовавшаяся сумма делится на 2. Т.е. по (17) вычисляется величина х1 = Ф:
Ф = х1 = (2,236067978 + 1)⁄2 = 1,618033989….
Посмотрим, какое число получится, если из (17) вычесть Ф:
2,236067978 – 1,618033989 = 0,618033989.
Т.е. число 2,236067978… составлено из двух чисел: из золотого числа Ф и взаимообратного ему золотого числа 1 ⁄Ф. Обозначим число (17) через русскую букву П:
П = (1 ⁄Ф + Ф), (18)
Назовем операцию сложения (18) способом взаимообратного сложения. Именно этот способ использован выше для получения ряда Люка. Отметим, что число П проявляет себя во многих математических операциях, и возведем обе части (18) в квадрат:
П2 = 5 = (1⁄ Ф + Ф)2 = 0,382 + 2(0,618·1,618) + 2,618. (19)
Обратим внимание на произведение взаимообратных чисел 2(0,618∙1,618). Из него следует, что результатами решения квадратных уравнений типа (19), первые и последние члены которых взаимообратны, будут иррациональные числа, определяемые величиной b. Сложив первое и третье в (19), имеем в натуральных числах:
П2 = 2 + 3 = 5. (20)
Последовательность 2, 3, 5, фрагмент ряда Фибоначчи и поэтому и в виде П, и в виде отдельных чисел 2, 3, 5 встречается во многих как золотых, так и просто гармонических отношениях. Формулу (18) можно превратить в квадратное уравнение. Перенесем ее члены в одну сторону, убрав знаменатель, заменим Ф на х и приравняв П = 0, получим квадратное уравнение с одним неизвестным:
х2 – 2,236 х + 1 = 0. (21)
В уравнении (21) очень важно появление знака плюс перед свободным членом. Его решение:
х12 = [2,236±√(5 – 4∙1∙1)] ∕2; х1 = 1,618, х2 = –0,618. (22)
И, хотя результат решения (22) аналогичен (16), следует отметить, что в подкоренном выражении появляется знак минус, а свободный член равен П. Эти знаки в (21) и (22) не встречаются на сегодня в квадратных уравнениях теории золотых пропорций. К тому же уравнение (21) включает иррациональное число, которое и обусловливает получение золотых чисел иначе, чем по (1):
Отметим, что подкоренное выражение в (16) получаемое в результате решения (1) записывается как составленное из двух чисел √(1 + 4). Однако, оно, как следует из (22), составлено из четырех чисел. Это тоже важно, поскольку за отбрасываемыми единицами могут скрываться взаимообратные числа, и произведение этих чисел в подкоренном выражении будет аналогом произведения единиц. Учитывая это, можно предположить, что подкоренное выражение в решениях обыкновенного квадратного уравнения представляет собой разность или сумму квадратов двух чисел b2 ± n2:
х1,2 = [– b ± √ (b2 ± n2)] ⁄2 а. (23)
А это и есть проявление скрытой сущности обыкновенного квадратного уравнения, в котором вместо 4 ас восстановлен n2 = √ 4 ас. Не останавливаясь на анализе (23), отметим, что для получения, в результате решения, взаимообратных золотых чисел или чисел с мантиссами в исходном уравнении (1) должно быть:
– либо отдельные, либо все а, b, и с квадратного уравнения, золотые числа (ритмика числовых рядов);
– либо а = 1, – b, – любое число, а с = –1. В частности результат (1 ± √5)⁄2 получается из (1) и при b = 2, а n = 1, и при b = 1, а n = 2.;
– либо произведение а на с равняется единице: а ∙ с = 1 (т.е. а и с взаимообратные числа).
Отметим, что числовые величины с мантиссами получаются в (23) при n = 1,2,3, …, при этом, золотые числа получаются в том случае, когда сумма (b2 + n2) разлагается на квадратное число и П2. Например:√(1 + 4) = √1·5. Это произведение и обусловливает появление взаимообратных золотых чисел:
х12 = [4 ± √(16 + 4)] ∕2 = (4 ± √4∙5) ∕2,
х1 = 4,236; х2 = − 0,236.
Все остальные числа, полученные из решения уравнения (1), отображая ту или иную числовую гармонию, прямого отношения к золотому множеству не имеют, поскольку не соответствуют критериям рекуррентности или соотношению квадрата числа с золотыми числами.
Приведем пример получения чисел с мантиссами при использовании в (18) взаимообратных золотых чисел
П = (0,618х + 1,618) 2.
Варьируя числами при П = 0, можно получить два варианта уравнений:
0,382 х2 + 2х + 2,618 = 0, (24)
2,618 х2 + 2 х + 0,382 = 0,
и решить их.
х = [–2 ± √(4 – 4∙2,618∙0,382)]∕2∙2,618 = – 0,382.
х1 = [–2 ± √(4 – 4∙0,382∙2,618)]∕2∙0,382 = – 2,618.
Итак, имея в квадратном уравнении взаимообратные золотые числа и 2 при неизвестном, в результате получаем не два решения, а одно со знаком минус, – золотое число, то, которое в уравнении было свободным членом.
В последние годы уравнения, решение которых сопровождалось получением взаимообратных чисел и чисел с мантиссами, были получены Д. Уоттом [4], В. Шпинадель [12], А. Татаренко [13] и другими исследователями. Исследователи, кроме Д. Уотта, исходили из квадратных уравнений, содержащих а = 1, – b и с = –1, типа (1):
х2 – bх – 1 = 0, (25)
схожими с (21) и призначениях b = –2, –3, –4,…,:
х2 – 2 х – 1 = 0,
получаем:
х1 = [2±√(4+4)] ∕2 = (2±√8) ∕2 = 2,41421…; х2 = –0,41421…
Уравнение (25) В. Шпинадель называет «серебряным уравнением». За ним, при b = – 3 следует «бронзовое уравнение»:
х2 – 3 х – 1 = 0,
решение, которого дает следующие значения х12:
х12 = 3,302775…; х2 = –0,302775… и т.д.
Далее (25) несколько видоизменяется: b = –1, а с = –2; –3; …:
х2 – х – с = 0 (26)
и следуют «медная» «никелевая» и другие «металлические пропорции». При этом используемые уравнения (25)-(26) – упрощенные варианты (14).
Из (25)-(26) получают взаимообратные числа, подчиняющиеся инвариантности: n – 1∕ n = m. Имеет место как бы некоторая аналогия с золотой инвариантностью:
Ф – 1∕ Ф = m. (27)
Но золотая инвариантность не ограничивается одним лишь вычитанием для получения целого числа и, как было отмечено выше, числа Люка появляются с применением, как вычитания, так и сложения, тогда как целые m числа В. Шпинадель появляются только в процессе вычитания. К тому же, наличие взаимообратных чисел с одинаковыми мантиссами не является доказательством их принадлежности к золотым числам, поскольку структура образованных ими рядов геометрической прогрессии не повторяет сдвоенной структуры чисел золотых прогрессий, Хотя некоторые из получаемых взаимообратных чисел В. Шпинадель, как было показано выше, могут оказаться золотыми.
Золото русских матриц
Изучая размножение кроликов, итальянский математик Леонардо Пизано (по прозвищу Фибоначчи) с удивлением обнаружил, что он происходит не хаотичным образом. Он создает удивительный порядок чисел, последовательное сложение которых (начиная с двух наименьших чисел натурального ряда 1 и 1, или 1 и 2) выводит образовавшуюся бесконечную последовательность на такое отношение двух соседних чисел, которое стремится к золотому числу Ф и тем ближе, чем это отношение дальше от начала ряда [14].Т.е. соответствует рекуррентному соотношению. Приведем начало ряда 1:
Ряд 1.
| … | |||||||||||||||
| … |
Теперь посмотрим, что происходит с любыми двумя случайными числами «построенными» в ряд, аналогичный ряду Фибоначчи, например, с числом 7 и числом 16 (ряд 2):
Ряд 2.
| … | |||||||||||
| … | |||||||||||
| … | … | ||||||||||
| … | … |
Проверим соответствие последовательности чисел ряда 2 правилу пропорционирования Фибоначчи. Делим, например, десятое число на одиннадцатое, а потом одиннадцатое на десятое:
691:1118 = 0,6180679,
1118: 691 = 1,6179450,
и двадцать первое на двадцатое:
137507: 84984 = 1,618033983,
получаем результаты полностью аналогичные тем, которые следуют из последовательности рядов Фибоначчи и Люка.
А это, как уже упоминалось, означает, что ряды типа Фибоначчи и Люка появляются не только при использовании первых трех чисел натурального ряда, но и при последовательном сложении двух любых арифметических величин.
Отметим основные моменты свойств рядов Фибоначчи:
- Получение золотого числа Ф методом Фибоначчи – Люка не ограничивается сложением двух минимальных чисел 1 и 2, а распространяется на любую пару вещественных чисел.
- Золотое число Ф с точностью до четвертого знака включительно во всех случаях получается из соотношения двух соседних чисел ряда уже на одиннадцатой операции сложения. Количество операций сложения, необходимых для приближения к золотому числу, не определяется величиной слагаемых чисел.
- Последовательность приближения к Ф идет как сверху вниз (результат первого деления превышает Ф), так и снизу вверх (результат первого деления меньше Ф), но, никогда не становится равным Ф, приближаясь к нему на бесконечно малую величину.
- Если известно лишь одно слагаемое число ряда, то имеется возможность получения всего потребного для операций ряда и тем точнее, чем далее оно находится от начала ряда. Числа «помнят» о своем месте в ряду.
- Важнейшим обстоятельством, способствующем пониманию физического смысла золотой пропорции, становится наличие двух первых слагаемых. Можно полагать, что эти числа математически отображают качественные и количественные взаимосвязи реальных тел природы.
Продолжим рассмотрение ряда Фибоначчи, например, с восемнадцатого числа и попробуем понять, к чему стремятся получаемые члены ряда. Заполним ряд 3-й.
Ряд 3.
Разделим все члены третьего ряда на какое-то число из них, например, на двадцать пятое – 121393 и полученный результат запишем в четвертый ряд.
Ряд 4.
| 0,034 | 0,0557 | 0,0902 | 0,146 | 0,236 | 0,382 | 0,61803 | 1,000 | 1,61803 | 2,6180 | 4,2360 |
Получается, что члены ряда Фибоначчи, начиная примерно с 12 слагаемого, образуют собой геометрическую прогрессию, основанием которой является золотое число Ф, умноженное, как уже говорилось, на некоторый коэффициент, которым может оказаться любое число (слагаемое) ряда (например, двадцать первое 17711 или двадцать пятое 121393 в ряду 3 и т.д.). В результате деления членов ряда 3 на 121393 образовался золотой ряд чисел аналогичный ряду (3).
Таким образом, ряды типа Фибоначчи, имея началом как бы «случайные» числовые величины на одиннадцатой операции сложения начинают «изменять» своему арифметическому качеству, переводя его из арифметического в качество геометрическое. Таким образом:
- Каждый ряд Фибоначчи, последовательно возрастая, меняет свое качество и «вырождается» в геометрическую прогрессию.
- Все ряды геометрической прогрессии неявно включают золотое число Ф и бесконечны и в сторону возрастания, и в сторону убывания.
Несколько позже другой ученый, французский математик Б. Паскаль, изучая процесс деления клетки, обнаружил, что он происходит путем раздвоения материнской клетки, и каждая образовавшаяся последующая клетка тоже делится пополам, как бы структурируя геометрическую прогрессию. В симметричном же построении цифр столбцом друг под другом, проявляется что-то подобное треугольнику: 1; 2; 4; 8; 16; … и т.д. Процесс получения геометрической прогрессии со знаменателем два был назван «треугольником Паскаля».
Интересно то, что аналогичным образом получаются из полных целых меньшие элементы древнерусских соизмерительных инструментов – саженей. Сажень, полсажени, четверть сажени – локоть, восьмая часть – пядь, шестнадцатая часть – пясть, тридцать вторая – вершок.
Архитектор А.А. Пилецкий [9], использовал систему удвоения, раздвоения русских саженей для построения нескольких взаимосвязанных рядов Фибоначчи. Он сдвоил ряд последовательно слагаемых чисел, изменив его качество, и получил уже не один ряд, а как минимум два взаимосвязанных ряда чисел, которые образовали таблицу. И, по-видимому, впервые, создал более развитый вариант двойного пропорционирования, образовав единую систему чисел из нескольких рядов Фибоначчи. Поэтому ряды типа Фибоначчи, связанные в систему, можно назвать рядами Пилецкого. Построим таблицу 1 по его методу.
Таблица 1.
| … | ||||||||||
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
| … | ||||||||||
| … | ||||||||||
| … | ||||||||||
| … | ||||||||||
| 0,5 | 1,5 | 2,5 | 6,5 | 10,5 | 27,5 | 22,5 | … | |||
| 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1,25 | 3,25 | 5,25 | 8,5 | 13,25 | 22,25 | … | |
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
В этой таблице третий снизу ряд чисел – Фибоначчи (отмечен полужирным шрифтом). Все члены числового поля получаются по рядам последовательным сложением двух соседних чисел, т.е. методом Фибоначчи, а столбцы – удвоением каждого нижнего числа, т.е. методом Паскаля: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64;... или, 2 n, где 2 является знаменателем, а n = 1; 2; 3; …; → ∞.
“Вырежем” часть поля таблицы 1, начиная, например с двадцать первого числа и рассмотрим, какими коэффициентами (числами золотых пропорций) и как связываются числа этого поля (таблица 2).
Таблица 2
| 8855,5 | 14328,5 | 37512,5 | 60696,5 | |
| 4427,75 | 7164,25 | 18756,25 | 30348,75 |
Для чего разделим все члены числового поля таблицы 2 на любое число, например, на 46368 (в таблице 2 выделено полужирным шрифтом) и, заполним аналогичную таблице 2 сетку получившимися числами с точностью до пятого знака.
Образовавшаяся аналогия таблице 2 приобретает неизвестные в математике свойства золотой объемной матрицы (матрица 1). Поскольку при ее формировании использовался древнерусский метод раздвоение – удвоение саженей, то к ласс образовавшихся матриц и был назван «русские матрицы». Их отличие от стандартных матриц в том, что формирование числового поля начинается с базисной 1 и продолжается во всех направлениях. Т.е структура всех русских матриц обладает центром. Матрица 1 – фрагмент числового поля, относящегося к классу русских матриц, описанных в [8,10]. Это бесконечная во всех направлениях объемная золотая матрица, у которой члены средней строки повторяют греческий ряд золотых чисел, базисный столбец образуют целые четные числа Паскаля, а остальные числа поля пропорциональны золотым числам, и гармонически взаимосвязаны.
Класс русских матриц единственный из числа матриц, в котором два любых числа по горизонтали или диагонали при последовательном сложении или сложении через интервал образуют третье. Матрицы обладают особенностями, отсутствующими у других матриц, но главное – они базируются на золотых пропорциях. Матрица 1, например, имеет следующие золотые знаменатели (коэффициенты) взаимосвязи:
Матрица 1.
| 1,5279 | 2,4721 | 6,4721 | 10,472 | |
| 0,76393 | 1,2361 | 3,2361 | 5,2361 | |
| 0,38197 | 0,61803 | 1,61803 | 2,61803 | |
| 0,19098 | 0,30902 | 0,5 | 0,80902 | 1,3090 |
| 0,09549 | 0,15451 | 0,25 | 0,40451 | 0,65451 |
По столбцам – 2,
По строкам Ф = 1,618,
По диагонали слева направо снизу вверх 2 Ф = 1,618 × 2 = 3,236,
По диагонали слева направо сверху вниз 2/ Ф = 2/ 1,618 = 1,236.
Таким образом:
- Применение геометрической прогрессии Паскаля к рядам Фибоначчи обусловливает появление рядов-таблиц Пилецкого с взаимосвязанными по всему полю числовыми значениями.
- Геометрические прогрессии рядов Пилецкого при делении всех чисел их поля на одно из них образуют золотые объемные матрицы.
- Числовое поле русских матриц создает высшую арифметическую и степенную комбинаторику как отображение гармонии природных процессов, выраженную в математической форме.
Метод сложения любых сдвоенных вещественных чисел Пилецкого обусловливает быстрое получение любого варианта золотых русских матриц.
Отметим, что матрицы могут образовываться набором рядов по знаменателю одного из взаимообратных чисел. Но золотыми русскими матрицами становятся только те матрицы, в которых хотя бы одну из трех клеток центра занимают Ф или Ψ. Центр матрицы создают три числа, образующих собою конфигурацию треугольника. Приведем запись формообразующих центров числовых полей двух матриц 1' и 2' с диагональным расположением золотого ряда:
| Центр матрицы 1' | Центр матрицы 2' |
| 1,414 1,272 | |
| 1 1,618 |
Центром объемной матрицы становится базисная 1 (единица), которая может оказаться единственным целым числом в матрице любого объема. Структуру золотой матрицы составляет двойная крестовая последовательность записи чисел, при которой в центре матрицы находится базисная 1, построчно цифры горизонтального ряда, а перпендикулярно ему вертикальный (базисный) ряд, формирующий числовое поле матрицы, который начинается с рационального или иррационального числа. По диагонали через 1 снизу вверх слева направо - диагональный ряд, начинающийся либо с золотого числа Ф либо с Ф в степени, либо со степени от Ф. Числовое поле матрицы распространяется в бесконечность во всех направлениях. Плоскую матрицу формируют три числа (объемную - четыре):
базисная 1, всегда находящаяся в центре матрицы и наличествует во всех матрицах, иногда в виртуальном виде (7′′). Виртуальная единица становится истинной при делении всего поля чисел матрицы на любое из них;
золотое число, следующее по диагонали от 1, как в виде Ф, так и Ф в его степени или в степени от него;
рациональное или иррациональное число над 1 (кроме Ф).
Приведем фрагмент русской матрицы 2 в которой Ф по диагонали:
Матрица 2
| +5 | 9,609 | 8,643 | 7,774 | 6,992 | 6,289 | 5,567 | 5,088 | 4,576 | 4,116 | 3,702 | 3,330 |
| +4 | 6,795 | 6,111 | 5,497 | 4,944 | 4,447 | 4,000 | 3,598 | 3,236 | 2,911 | 2,618 | 2,355 |
| +3 | 4,804 | 4,31 | 3,887 | 3,496 | 3,145 | 2,828 | 2,544 | 2,288 | 2,058 | 1,851 |