Лабораторная работа 9
Экспериментальная проверка закона распределения Гаусса
Цель работы: познакомиться с особенностями статистических закономерностей. Экспериментально получить статистическую кривую распределения Гаусса.
Приборы и принадлежности: прямоугольный ящик со стеклянными передней и задней стенками, разделенный на ряд отсеков (доска Гальтона), линейка, крупнозернистый песок или мелкие шарики.
Вывод рабочей формулы и описание установки
Для выполнения данной лабораторной работы студентам необходимо знать понятия: статистический ансамбль, вероятность появления результата, функция распределения вероятности, статистические законы Гаусса
и Максвелла.
Особое внимание следует обратить на соотношение динамических и статистических закономерностей, на различные примеры их применения и использования. Рассмотреть классические примеры использования динамических закономерностей, расчёт траектории полёта снаряда или самолета, движения планет вокруг Солнца. Обратить внимание, что, зная начальные положения тел и характер сил, действующих на тело во время движения, можно однозначно вычислить положение тела в любые предшествующие и последующие моменты времени.
Рассмотреть затем ряд физических явлений и процессов, в которых результат данного одиночного опыта не может быть предсказан с полной определенностью и носит случайный, вероятностный характер. К таким явлениям относятся, например, распад атомного ядра, испускание электронов нагретой нитью, испускание фотонов атомом, столкновение молекул. Убедиться, что невозможно знать, например, с какой скоростью будет двигаться та или иная молекула, какой энергией она будет обладать, импульсом и т.д. Неопределенность является внутренним свойством, характерной особенностью для тех процессов и явлений, которые определяются коллективным движением или взаимодействием большого числа однотипных объектов.
Усвоить вывод: по отношению к таким явлениям и системам можно поставить лишь один вопрос: какова вероятность того, что интересующая нас физическая величина будет иметь то или иное значение?
Обратить внимание на то место теории, в котором обосновываются понятия вероятности и функции распределения плотности вероятности.
Вероятность понимать как предел, к которому стремится относительная частота появления некоторого события при бесконечно большом числе повторений опыта. Если при 
опытах 
раз получен определенный результат, то вероятность этого результата 
. Вероятность 
того, что случайная величина 
может принимать значения от до 
(т.е. находится в интервале значений), является функцией самой этой величины 
и пропорциональна ширине интервала значений 
, т.е. 
. Запомнить: функция называется функцией распределения вероятности, она показывает, как распределяется вероятность, приходящаяся на один и тот же интервал значений , в зависимости от значений самой величины . Функцию называют функцией распределения плотности вероятности.
В лабораторной работе ставится задача: на примере механических моделей, имитирующих беспорядочность и хаотичность движений и столкновений молекул, экспериментально установить вид функций распределения для конкретных физических величин и сравнить полученные результаты с выводами теории.
Обратить внимание на постановку задачи. Система состоит из одинаковых частиц. Движение каждой частицы строго обусловлено
различными причинами. Оно подчиняется обычным законам механики, но из-за большого числа столкновений с другими частицами и со стенками сосуда величина и направление скорости частиц за короткий промежуток времени испытывают огромное число изменений и носят вероятностный, случайный характер.
Можно поставить задачу: чему равна относительная доля молекул 
, - компонента скорости которых (
) лежит в заданном интервале значений от - до 
- или какова вероятность 
того, что некоторая молекула будет иметь -компоненту скорости в интервале между и .
. (1)
Из теории следует, что
| _ |
. (2)
где -полное число частиц.
- функция распределения Гаусса.
Следует иметь в виду, что функция Гаусса симметрична относительно и стремится к нулю при возрастании до бесконечности. График функции Гаусса изображен на следующем рисунке.
|
Постоянная 
-нормировочный множитель, 
- масса частицы. Экспериментально закон распределения Гаусса можно проверить с помощью доски Гальтона, эскиз которой изображен на рисунке;
1 - воронка с мелкими частицами (дробинки, крупнозернистый песок, пшено);
2 - заслонка;
3 - булавки или гвозди (центры столкновений)
4- ячейки.
Открыв заслонку 2, будем сыпать частицы равномерной струей. При движении каждая частица испытывает многочисленные столкновения с булавками. Это приводит к случайному разбросу компоненты скорости . Вероятность попадания частицы в ту или иную ячейку определится значением компоненты скорости частицы. Чем больше величина , тем в более далёкую от центра ячейку попадет частица. Число частиц, попавших в ту или иную ячейку, можно трактовать как вероятность того, что компонента скорости зернышка находится в определенном интервале значений. Так как ширина ячеек одинакова, то высота столбиков частиц в ячейках 
пропорциональна числу зёрен 
в ячейках, т.е. 
.