Если известны вероятности состояний «природы» (например, спроса по данным анализа за прошлые годы):
где 
то в качестве показателя эффективности (рациональности, обоснованности) стратегии 
берется средний (математическое ожидание) - выигрыш применения этой стратегии:
а оптимальной считают стратегию, для которой этот показатель эффективности имеет максимальное значение, т.е.
Если каждому решению соответствует множество возможных результатов 
с вероятностями 
, то среднее значение выигрыша определяется по формуле
а оптимальная стратегия выбирается по условию
В этом случае можно воспользоваться и стратегией минимального среднего риска для каждого i-го состояния «природы»
Максиминный критерий Вальда предполагает выбор решения, при котором гарантируется максимальный выигрыш в наихудших условиях внешней среды (состояния «природы»):
Согласно критерию пессимизма-оптимизма Гурвица при выборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации (оптимум-пессимизм) придерживаются некоторого компромисса, учитывающего возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения «природы»:
где x - показатель пессимизма-оптимизма (чаще всего 0,5).
Если 
критерий слишком пессимистичный, если 
– слишком отптимистичный.
По критерию минимаксного риска Сэвиджа выбирают ту стратегию, при которой величина риска имеет минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации:
чтобы избежать слишком большого риска при выборе решения.
Комплексный анализ всех этих критериев позволяет в некоторой мере оценить возможные последствия принимаемых решений
Кооперативная теория
Другим классом неантагонистических игр являются кооперативные игры.
|
|
Каждая бескоалиционная игра описывает некоторый, вообще говоря, достаточно сложный конфликт, не всегда поддающийся не только детальному изучению, но и даже точному описанию. Поэтому иногда представляется естественным выбирать в этом конфликте отдельные его аспекты и подвергать их специальному анализу.
Самым простым будет при этом выделение некоторого множества игроков 
называемого коалицией (бескоалиционность рассматриваемых игр в том и состоит, что никакие коалиции первоначально в правилах игры не предусмотрены), и рассмотрение антагонистической игры 
)коалиции 
как единого игрока против ее «окружения» 
в целом. При этом комбинации стратегий игроков из (и из ) составляют стратегии (соответственно стратегии ), а сумма выигрышей игроков из - выигрыш коалиции . Значение 
этой игры естественно понимать как силу коалиции в общей игре 
.
Соответствие 
для каждой коалиции 
в условиях бескоалиционной игры называется ее характеристической функцией и обозначается через 
.
Характеристическая функция дает представление о возможностях коалиций и отдельных игроков в условиях игры даже без указания множества стратегий и функций выигрыша в ней. Поэтому говорят даже о задании игр «в форме характеристической функции», противопоставляя его заданию игр «в нормальной форме», и в других формах, которые существуют, но нами не затрагиваются. Изучение характеристических функций игр и составляет содержание кооперативной теории игр.
В рамках такой кооперативной теории исходами игры будут некоторые распределения суммарного выигрыша, называемые дележами. Характеристическую функцию, рассматриваемую совместно с некоторым множеством дележей, принято называть кооперативной игрой. Для кооперативных игр конструируются соответствующие принципы оптимальности, и рассматривается связанная с ними проблематика.
|
|
В некоторых из этих принципов оптимальности воплощаются представления об устойчивости, которые получаются перенесением на соотношения между дележами различных вариантов описания максимума функции. Однако применительно к дележам эти варианты определения перестают быть эквивалентными и порождают различные принципы оптимальности.
Вводимые принципы оптимальности имеют некоторые недостатки (если вообще можно говорить о недостатках достаточно естественно возникающих объектов): они не всегда реализуемы, а в тех случаях, когда реализуемы, могут допускать целые множества реализации, причем каждая реализация может состоять из многих дележей. К тому же реализации этих принципов могут не удовлетворять условиям справедливости в том смысле, как она определялась выше.
Все отмеченное заставляет искать новые принципы оптимальности. При этом плодотворным оказывается следующий путь: не переносить на случай дележей те или иные формулировки для максимумов на числовых множествах, выясняя, какими свойствами полученные принципы оптимальности будут обладать, а наоборот, фиксировать те свойства (в том числе - некоторые черты справедливости), которые желательно видеть у интересующих нас принципов оптимальности, и конструировать принцип, который этими свойствами заведомо будет обладать.
|
|