Уравнения и неравенства с одной переменной
Решить уравнение – значит найти значение неизвестного, при котором оно обращается в верное равенство, или установить, что таких значений нет.
Например:
- уравнение 
обращается в верное числовое равенство при 
. Ответ: .
- уравнение 
не имеет решений. Ответ: нет решений.
Решить неравенство – значит найти множество всех значений неизвестного или доказать, что их нет.
Например:
- неравенство 
будет верным при любом 
. Ответ: 
.
- двойное неравенство 
не имеет общих решений для 
. Ответ: 
Рассматриваем:
- Степенные уравнения и неравенства (неизвестное 
в основании степени 
)
- Иррациональные уравнения и неравенства (неизвестное под знаком корня -ой степени 
)
- Показательные уравнения и неравенства (неизвестное в показателе степени 
)
- Логарифмические уравнения и неравенства (неизвестное под знаком логарифма 
)
Степенные уравнения и неравенства
a) Линейные уравнения 
и неравенства 
Решить уравнение
Ответ: 4
| Решить неравенство:
При делении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется
Ответ: 
|
б) Квадратные уравнения 
и неравенства 
Решить уравнения:
а) 
Ответ: 
----------------------------------------------------------
Неполные квадратные уравнения
б) 
Произведение множителей равно нулю, когда или первый или второй множители равны нулю
Ответ: 
--------------------------------------------------------------
в) 
Ответ: 
| Решить неравенства:
а) 
Сначала решаем уравнение
Теперь раскладываем заданное неравенство на множители
На числовой оси отмечаем промежутки положительного и отрицательного знака
Заданному неравенству удовлетворяют промежутки со знаком  с невходящими границами
Ответ: 
----------------------------------------------------------------------
б) 
На числовой оси отмечаем промежутки положительного и отрицательного знака
Заданному неравенству удовлетворяют промежутки со знаком  с входящими границами
Ответ: 
-------------------------------------------------------------------
в) 
Раскладываем заданное неравенство на множители
На числовой оси отмечаем промежутки положительного и отрицательного знака
Заданному неравенству удовлетворяют промежутки со знаком с входящими границами
Ответ: 
|
Иррациональные уравнения и неравенства
Алгоритм решения иррациональных уравнений и неравенств:
1) определить ОДЗ (область допустимых значений) подкоренного выражения;
2) возведение в квадрат обе части уравнения или неравенства, чтобы избавиться от квадратного корня.
Решить уравнение 
ОДЗ: 
Возводим в квадрат обе части уравнения:
 ;
Решаем уравнение
 ; 
Оба значения принадлежат ОДЗ.
Ответ:  .
| Решить неравенство 
ОДЗ:  , тогда 
Возводим в квадрат обе части неравенства:
Объединяем ОДЗ и неравенство в систему и решаем её:
Ответ:
|
Показательные уравнения и неравенства
Порядок решения показательных уравнений и неравенств:
1) привести обе части уравнения или неравенства к одинаковому основанию степени.
2) Правило для уравнений: при равенстве оснований приравнять показатели степени;
Правило смены знака для неравенств:
а) для основания 
записать неравенство для показателей степени, не изменяя знак неравенства;
б) для основания 
записать неравенство для показателей степени, изменяя знак неравенства.
Решить показательные уравнения:
а) 
Приводим к одинаковому основанию
Основания равны, - приравниваем показатели степени
Ответ: 
| б) 
Приводим к одинаковому основанию
Применяем правила действий со степенями
Основания равны, - приравниваем показатели степени
Ответ: 
| в) 
Приводим к одинаковому основанию
Основания равны, - приравниваем показатели степени
Ответ:
|
Решить показательные неравенства:
а) 
Приводим к одинаковому основанию
Основания равны, - записываем неравенство для показателей степени. Так как , то знак неравенства не меняется
Ответ: 
| б) 
Приводим к одинаковому основанию
Основания равны, - записываем неравенство для показателей степени. Так как , то знак неравенства меняется
Ответ: 
Действительно, например, при  получаем
 - верно!
|