Библиографический список

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА № 1

Расчет цепей с источниками гармонических воздействий

2.1. Задание

1. По заданному номеру варианта изобразить цепь, подлежащую расчету, выписать значения параметров элементов.

2. Записать в общем виде систему уравнений Кирхгофа для полученной цепи.

3. Рассчитать токи во всех ветвях и напряжение на источнике тока методом контурных токов.

4. Составить баланс активных и реактивных мощностей.

5. Записать мгновенные значения токов ветвей и напряжение на источнике тока.

6. Определить потенциалы всех точек цепи и построить на комплексной плоскости векторную топографическую диаграмму напряжений и токов.

2.2. Выбор варианта цепи

1. Граф цепи, подлежащей расчету, выбирать в соответствии с рис. 2.1. Расположение источников напряжения и тока, а также пассивных элементов в ветвях выбирать с помощью табл. 2.1. Направление действия источников произвольное.

2. Численные значения параметров источников напряжения и тока выбирать с помощью табл. 2.2. Частота питающего напряжения и тока f =50 Гц.

3. Численные значения параметров пассивных элементов определяются по формулам:

для четных ветвей:	для нечетных ветвей:
R = R 0 + AR · N,	R = R 0 + AR · 3,5 N,
L = L 0 + AL · N,	L = L 0 + AL ·3,5 N,
C = C 0 + AC · N,	С = С 0 + AС ·3,5 N,

где N – номер группы, значения коэффициентов R ₀, L ₀, C ₀ заданы в табл. 2.3, а каждый из дополнительных коэффициентов A_R, A_L, A_C, имея соответствующую размерность (Ом, мГн, мкФ), равен сумме цифр номера варианта.

 

 

Таблица 2.1

Номер варианта	Граф	Расположение элементов в ветвях цепи
источник напряже-ния	источ-ник тока	резисторы	индуктив-ности	емкости
1, 26, 51, 76	а			2, 3, 4, 5, 6
2, 27, 52, 77	б			1, 2, 3, 4, 5, 6
3, 28, 53, 78	в			1, 2, 4, 5, 6
4, 29, 54, 79	г			1, 2, 3, 4, 5
5, 30, 55, 80	д			1, 2, 3, 4, 5
6, 31, 56, 81	е			1, 2, 3, 4, 5
7, 32, 57, 82	а			1, 2, 4, 5, 6
8, 33, 58, 83	б			1, 2, 3, 4, 5,6
9, 34, 59, 84	в			1, 2, 3, 5, 6
10, 35, 60, 85	г			1, 2, 3, 4, 5
11, З6, 61, 86	д			1, 2, 3, 4, 5
12, 37, 62, 87	е			1, 2, 3, 5
13, 38, 63, 88	а			1, 3, 4, 5, 6
14, 39, 64, 89	б			1, 2, 3, 4, 5,6
15, 40, 65, 90	в			1, 2, 3, 4, 5
16, 41, 66, 91	г			1, 2, 3, 4, 5
17, 42, 67, 92	д			1, 2, З, 4, 5
18, 43, 68, 93	е			1, 2, 3, 4, 5
19, 44, 69, 94	а			1, 3, 4, 5, 6
20, 45, 70, 95	б			1, 2, 3, 4, 5, 6
21, 46, 71, 96	в			2, 3, 4, 5, 6
22, 47, 72, 97	г			1, 2, 3, 4, 5
23, 48, 73, 98	д			1, 2, 3, 4, 5
24, 49, 74, 99	е			1, 2, 4, 5
25, 50, 75, 100	а			1, 2, 3, 4, 6

 

 

Таблица 2.2

Ветви	Е	J
АТ, ИВК, КТЭИ	АЭП, ТК, АТПП	АТП, ЭС, АСУ	ЭС, ИВК, КТЭИ	АЭП, ТК, АТП	АСУ, АТ, АТПП
	50 e – j 60°	150 ej 30°	200 e j 0°	3 ej 45°	4 ej 150°	5 ej 150°
	100 e – j 45°	100 ej 60°	150 e – j 45°	2 ej 60°	5 ej 0°	4 ej 45°
	120 e j 30°	200 ej 45°	100 e – j 45°	5 e – j 45°	3 e – j 120°	2 ej 30°
	141 e j 0°	50 e – j 30°	141 e – j 60°	4 e – j 30°	4 e – j 60°	3 ej 0°
	150 e j 45°	200 e – j 45°	141 e j 45°	3 e – j 60°	5 e – j 45°	5 e – j 60°
	100 e – j 90°	120 e – j 60°	150 e j 150°	2 ej 45°	4 e–j 150°	3 ej 120°

 

 

Таблица 2.3

	R 0, Ом	L 0, мГн	С О, мкФ
АСУ
АT
АЭП
КТЭИ
ТК
ЭС
АТП

2.3. Методические указания

 

2.3.1 Метод уравнений Кирхгофа

1. Пронумеровать m ветвей и обозначить n узлов в соответствии с графом цепи.

2. Обозначить токи ветвей и произвольно выбрать их положительное направление, а также выбрать полярности на зажимах источника тока.

3. Произвольно выбрать опорный узел и для прочих (n – 1) узла записать уравнения по I закону Кирхгофа в форме

.

Алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю. При суммировании токи, направленные к узлу, следует принять условно положительными, а направленные от узла – отрицательными (или наоборот).

4. Произвольно выбрать совокупность p независимых контуров и обозначить направление их обхода. Для каждого из независимых контуров записать уравнения по II Закону Кирхгофа в форме

.

Алгебраическая сумма падений напряжения на потребителях замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС источников, содержащихся в нем.

При суммировании в левой части положительными принимают падения напряжения на тех потребителях, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направлением обхода контура; в правой части положительными принимают ЭДС источников, являющихся содействующими в смысле выбранного направления обхода контура (потенциал на них возрастает).

Уравнения, записанные по I и II 3аконам Кирхгофа, составляют систему, порядок которой равняется числу ветвей в цепи.

2.3.2. Метод контурных токов

Применение метода позволяет уменьшить общее количество уравнений системы до числа независимых контуров p.

Расчет электрических цепей методом контурных токов осуществляется в соответствии со следующим алгоритмом:

1. В произвольно выбранной совокупности независимых контуров обозначить контурные токи, направление которых выбирается произвольно.

2. Для определения контурных токов составить систему уравнений, записываемую в виде матричного уравнения вида

,

где -– матрица комплексных сопротивлений размерностью (p ´ p), в которой:

– собственное комплексное сопротивление, определяемое как сумма сопротивлений ветвей, входящих в контур;

– общее комплексное сопротивление i и j контуров; определяется как сопротивление ветви (ветвей), общих для i и j контуров. Общее сопротивление отрицательно, когда контурные токи и , протекающие в общей ветви (ветвях), направлены противоположно;

– матрица-столбец контурных токов;

– матрица-столбец контурных ЭДС представляет собой алгебраическую сумму ЭДС, включенных в ветви, образующие данный контур. Правило знаков аналогично II закону Кирхгофа.

3. Решить составленную систему уравнений относительно неизвестных токов.

4. Выразить токи всех ветвей как сумму контурных токов, в них протекающих, взятых со знаком плюс, если направления тока ветви и контурного тока совпадают.

П р и м е ч а н и е. 3адача расчета данным методом упрощается, если в цепи имеются h источников тока. Если выбрать совокупность независимых контуров таким образом, что каждая ветвь с источником тока войдет только в один контур, число совместно решаемых уравнений системы сократится на h. При этом h контурных токов будут приняты равными задающему току J соответствующего источника тока, вошедшего в данный контур.

 

2.3.3. Баланс активных и реактивных мощностей

При расчете цепей гармонического тока символическим методом следует рассматривать комплексную мощность

где – активная мощность;

– реактивная мощность.

Баланс мощностей

или

,

где – сопряженный комплекс тока k -й ветви;

– действующее значение тока k -й ветви;

– активная мощность потребителей;

– реактивная мощность потребителей.

Выражение в левой части равенства представляет собой суммарную комплексную мощность источников. Правило знаков аналогично изложенному в п. 3.4 (контрольная работа № 1).

2.3.4. Построение топографической диаграммы напряжений

Для построения топографической диаграммы напряжений необходимо рассчитать значения комплексных потенциалов всех точек электрической цепи.

1. Обозначить буквами (цифрами) все точки электрической цепи, между которыми находятся пассивные элементы и источники энергии.

2. Комплексный потенциал одной точки (любой) условно принять равной нулю. Эту точку назовем базовой (опорной).

3. Рассчитать комплексные значения потенциалов всех остальных точек цепи относительно базовой.

4. Построить на комплексной плоскости в соответствии с выбранным масштабом m_I векторы токов ветвей цепи.

5. В соответствии с выбранным масштабом m_U нанести на комплексную плоскость точки, соответствующие комплексным значениям рассчитанных потенциалов. Соединить полученные точки между собой отрезками ломаной линии, соблюдая порядок чередования точек при обходе соответствующего контура цепи.

2.4. Пример расчета

2.4.1. Задание

Рассчитать цепь, изображенную графом а (рис. 2.1), в которой

E = 150 е^{j 30}; J = 3 e^{j 45}; f = 50 Гц.

Параметры пассивных элементов:

R ₂ = R ₄ = R ₆ = 38 Oм;

R ₅ = 66 Oм;

L ₃ = 176 мГн; X_{L 5} = 2p fL = 55,292 Ом;

C ₄ = 136 мкФ; X_{C 4} = 1/(2p fC) = 23,405 Ом.

Подлежащая расчету схема имеет вид, представленный на рис. 2.2:

Число узлов n = 4. Число независимых контуров p = 3.

2.4.2. Составление системы уравнений Кирхгофа

Произвольно задавшись положительным направлением токов ветвей (см. рис. 2.2) и совокупностью независимых контуров, запишем:

– уравнения по I закону Кирхгофа, число уравнений (n – 1) = 4 – 1 = 3

узел А: ;

узел В: ;

узел С: .

– уравнения по II закону Кирхгофа, число уравнений p = 3,

I контур: ;

II контур:

III контур: .

В результате имеем систему, состоящую из 6 уравнений, разрешимую относительно 6 неизвестных: _.

2.4.3. Решение методом контурных токов

Для рассматриваемой цепи (см. рис. 2.2) система уравнений относительно контурных токов , совпадающих по направлению с обходом контуров, имеет вид

(2.1)

В данной системе:

– собственные сопротивления контуров:

;

;

;

– общие сопротивления контуров:

;

;

;

– контурные ЭДС:

В выбранной совокупности контуров

.

Следовательно, первое уравнение в системе (2.1) может быть исключено из совместного рассмотрения при ее решении относительно неизвестных контурных токов и . После подстановки численных значений система (2.1), сокращенная на одно уравнение, примет вид

Решать данную систему целесообразно с применением правила Крамера.

Определители системы:

Токи и находят по формулам:

,

.

В соответствии с условно принятыми положительными направлениями (см. рис. 2.2) вычислим токи ветвей:

Мгновенные значения токов ветвей и напряжения на источнике тока

Поскольку угловая частота равна w = 2p f, а амплитуда связана с действующим значением с помощью соотношения , следовательно,

где - начальная радиан-фаза тока i ₁,

аналогично запишем:

 

4.4. Баланс активных и реактивных мощностей

Комплексная мощность источников:

,

где и – сопряженные комплексы тока.

Комплексная мощность потребителей:

,

где активная мощность:

,

реактивная мощность:

(в формулах мощности потребителей I _i – действующие значения токов).

Относительная погрешность расчета:

.

 

2.4.5. Построение топографической диаграммы

 

На рис. 2.3 представлена векторная диаграмма токов ветвей рассматриваемой схемы в соответствии с масштабом по току М_I: 1 деление – 0,5 А. Диаграмма токов позволяет проверить графическим путем выполнение соотношений по I закону Кирхгофа.

В соответствии с принятыми на рис. 2.2 обозначениями рассчитываются значения потенциалов точек цепи. Потенциал точки А принимается равным нулю.

проверка 1:

проверка 2:

проверка 3:

Выбираем масштаб по напряжению М_U для построения диаграммы: 1 деление – 20 В.

На рис. 2.4 изображена топографическая диаграмма напряжений, позволяющая проверить графическим путем выполнение соотношений по II закону Кирхгофа.

На рис. 2.5 изображена совмещенная диаграмма токов и напряжений, позволяющая проверить выполнение соотношений по закону Ома в символической форме для всех пассивных элементов цепи.

.

 

Библиографический список

1. Зевеке Г.В. и др. Основы теории цепей: Учебник для вузов.–5-е изд., перераб. – М.: Энергоатомиздат, 1989.–528 с.: ил.

2. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. Учебное пособие для вузов.– 4-е изд., перераб. – М.: Высшая школа, 1990 г.– 544 с.: ил.

3. Кузнецова Т.А. и др. Теория линейных электрических цепей: Учебное пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2012. – 275 с.

Приложение 1

Министерство образования и науки Российской Федерации

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

 

«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

 

Кафедра конструирования и технологий в электротехнике

 

Контрольная работа № 1

по дисциплине Электротехника и электроника 1