ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ




Здесь и в дальнейшем при одновременном использовании нескольких различных систем счисления основание системы к которой относится число будем указывать в виде нижнего индекса.

10101101.1012 = 1 27+ 0 26+ 1 25+ 0 24+ 1 23+ 1 22+ 0 21+ 1 20+ 1 2-1+ 0 2-2+ 1 2-3 = 173.62510

б) Перевести 703.048 "10" с.с.

703.048 = 7 82+ 0 81+ 3 80+ 0 8-1+ 4 8-2 = 451.062510

в) Перевести B2E.416 "10" с.с.

B2E.416 = 11 162+ 2 161+ 14 160+ 4 16-1 = 2862.2510

Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

Пример.

а) Перевести 18110 "8" с.с. Результат: 18110 = 2658   б) Перевести 62210 "16" с.с. Результат: 62210 = 26E16  

Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную.
Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Пример.

Перевести 0.312510 "8" с.с.

Результат: 0.312510 = 0.248

Замечание. Конечной десятичной дроби в другой системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.

Пример.

Перевести 0.6510 "2" с.с. Точность 6 знаков.

Результат: 0.6510 0.10(1001)2

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.

Пример.

Перевести 23.12510 "2" с.с.

1) Переведем целую часть: 2) Переведем дробную часть:


Таким образом: 2310 = 101112; 0.12510 = 0.0012.
Результат: 23.12510 = 10111.0012.

Необходимо отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби - дробями в любой системе счисления.

Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную формудостаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) (Таб. 1) или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) (Таб. 1), при этом отбрасывают ненужные нули в старших и младших разрядах.

Пример.

а) Перевести 305.48 "2" с.с.   б) Перевести 7B2.E16 "2" с.с.  

Для перехода от двоичной к восьмеричной (шестнадцатеричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Пример.

а) Перевести 1101111001.11012 "8" с.с.   б) Перевести 11111111011.1001112 "16" с.с.  

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

Пример. Перевести 175.248 "16" с.с.

Результат: 175.248 = 7D.516.

3 Двоичная арифметика.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения.

Таблица двоичного сложения Таблица двоичного вычитания Таблица двоичного умножения
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1 0 0=0 0 1=0 1 0=0 1 1=1

При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и переноса из соседнего младшего разряда, если он имеется. При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий.

Пример. Выполнить сложение двоичных чисел:

а) X=1101, Y=101; Результат 1101+101=10010.   б) X=1101, Y=101, Z=111; Результат 1101+101+111=11001.  

При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум 1 данного разряда.

Пример. Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X-Y.

Результат 10010 - 101=1101.

Умножение двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных с помощью таблиц двоичного умножения и сложения.

Пример. 1001 101=?

Результат 1001 101=101101.

Деление двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных. При этом используются таблицы двоичного умножения и вычитания.

Пример. 1100.011 : 10.01=?

Результат 1100.011 : 10.01=101.1.

Упражнения

1. Перевести следующие числа в десятичную систему счисления:

а) 1101112; б) 563.448; в) 1C4.A16.

2. Перевести число 463.04 из "10" с.с в "2", "8", "16" с.с.

3. Перевести следующие числа в двоичную систему счисления:

а) 172.328; б) 7BF.52A16.

4. Перевести следующие числа из одной системы счисления в другую:

а) 312.78 "16" с.с.; б) 5B.F16 "8" с.с.

5. Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X+Y и X-Y , если:

X=1101001; Y=101111

6. Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X*Y и X/Y , если:

X=100101.011; Y=110.1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Основное понятие булевой алгебры – это высказывание.

Высказывание – является умозаключением, которое может принимать значение либо истинно, либо ложно (третьего не дано). Высказывания обычно обозначают большими буквами латинского алфавита. Значение истинно принято обозначать одним из следующих символов: «1», «И», «TRUE».Ложно: «0», «Л», «FALSE».

Например, А = «Идёт снег»

Из простых высказываний при помощи логических операций можно получить высказывание сложное.

 

Логические операции

1. Конъюнкция (&, ^, AND, И)двух высказываний Aи Bэто новое высказывание C, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба входящих высказывания. Конъюнкция – это логическое умножение.

 

Таблица истинности для данной операции имеет вид:

 

2. Дизъюнкция (Ú, OR, ИЛИ)– это логическая сума, в результате которой образуется новое высказывание, имеющее значение истина, если истинно хотя бы одно из входящих высказываний.

Таблица истинности дизъюнкции:

 

3. Импликация ( , следование) двух высказываний Aи B(Аименуется посылкой, а Bзаключением) - это новое высказывание C, которое ложно только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно.

Таблица истинности такой операции следующая:

 

4. Эквиваленцией ( , º, равносильность) двух высказываний Aи Bявляется новое высказывание C, которое истинно только тогда, когда оба входящих высказывания имеют одинаковое значение истинности.

Таблица истинности:

 

5. Отрицание ( é, , NOT, не) это унарная операция, в результате которой получаем высказывание, которое истинно, когда исходное высказывание ложно, и ложно, когда исходное высказывание истинно.

Таблица истинности:

5. Исключающее или

Таблица истинности:

 

Приоритеты выполнения операций: сначала выполняются операции в скобках, затем отрицание, конъюнкция и дизъюнкция слева направо, импликация, эквиваленция.

 

Пример: Построить таблицу истинности логической функции .

Для построения таблицы истинности, необходимо для двух входящих высказываний С и В перебрать все возможные варианты отношений (оба ложны, оба истинны, одно истинно – другое ложно), а затем последовательно, по столбцам, в соответствии с приоритетами выполнить все логические операции:

Упражнения

1. Построить таблицу истинности высказывания .

2. Определить, верно ли тождество .





©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!