По определению, которое мы дали выше, чёткость числа – это количество цифр, которые были использованы при записи этого числа.
Например, число 0.3610 записано с чёткостью в две цифры.
Мы можем легко сравнить два числа и сказать, у какого из них чёткость выше. Например, чёткость у числа 0.3632410 вне всякого сомнения выше, чем чёткость числа 0.310, потому что в первом случае записано 5 значащих цифр, а во втором – только одна.
Но когда мы имеем дело с числами в различных системах счисления, то для сравнения чёткости не достаточно знать количество цифр.
Например, какое из чисел более чёткое - 0.310 или 0.12? Если Вы уже умеете легко переводить в уме числа из двоичной системы счисления в десятичную с небольшой точностью, то Вы наверняка уже сообразили, что 0.310 – гораздо более чёткое число, чем 0.12, так как в первом случае речь идёт о десятых долях (то есть, три десятых доли), а во втором случае – о половинках (то есть, одна половинка). Если использовать эти числа для записи, к примеру, роста человека, то одна цифра после запятой в десятичной системе счисления означает чёткость записи роста до 10 сантиметров, а одна цифра после запятой в двоичной системе счисления будет означать чёткость записи роста до полуметра.
То есть, чёткость, когда речь идёт о числах в разных системах счисления, – это не просто количество использованных цифр. Теперь, когда мы это знаем, мы можем уточнить понятие чёткости. Простейший способ сделать это – определить чёткость через точность. Итак:
Чёткость числа – это максимальная точность, которую может обеспечить число с таким количеством значащих цифр.
Например, если мы записываем рост человека в десятичной системе счисления с использованием одной цифры после запятой, то максимально возможная точность, которую можно получить при записи таких чисел – до 10 сантиметров. В нашем примере 0.110 метра – это самая маленькая разница, которая может возникнуть между двумя разными числами.
Самую маленькую разницу очень легко определить для числа в любой системе счисления. Например, если мы записываем рост человека в двоичной системе счисления с использованием одной цифры после запятой, то самая маленькая разница, которая может возникнуть между двумя разными числами составит 0.12.
Если записывать три цифры после запятой, то в обоих системах счисления самая маленькая разница (четкость) составит соответственно 0.00110 и 0.0012 – как видите, изображения чисел абсолютно одинаковые, меняется только система счисления. Если мы захотим представить рост человека в 25-ричной системе счисления с точностью до трёх цифр после запятой, то чёткость составит, как и в предыдущих случаях, 0.00125.
Чтобы понять общую идею, как сравнивать чёткость чисел в разных системах счисления с разным количеством цифр после запятой, начнём со сравнения чёткости чисел в десятичной системе счисления. Например, всем очевидно, что 0.00110 – это гораздо меньше, чем 0.110. Собственно, именно из этого сравнения мы сразу можем сделать вывод, что число 0.34110 – гораздо более чёткое, чем число 0.310. Обратите внимание, что вывод этот мы сделали не на основании сравнения количества цифр после запятой (3 цифры или 1 цифра), а на основании сравнения чёткости (0.00110 меньше, чем 0.110).
Используя это простое правило, мы можем легко сравнить чёткость различных чисел, не зависимо от системы счисления.
Как Вы думаете, какое из чисел чётче - 0.34110 или 0.10110012? Чтобы ответить на этот вопрос, запишем чёткость этих двух чисел:
0.34110 – представлено с чёткостью 0.00110;
0.10110012 – представлено с чёткостью 0.00000012.
Если привести оба числа (0.00110 и 0.00000012) к одной системе счисления, мы сможем их сравнить. В данном случае удобнее всего всё привести к десятичной системе счисления, и тогда мы получим, что в двоичной системе счисления число представлено с чёткостью 0.00000012=0.007812510. 0.007812510 – это больше, чем 0.00110, из этого мы можем сделать вывод, что число в десятичной системе счисления чётче, несмотря даже на то, что в нём использовано меньше цифр (только три), чем в двоичной системе счисления (целых семь цифр после запятой).
Чёткость числа в любой системе счисления можно записать при помощи формулы:
Например, чёткость числа 0.34110 – 1/103 = 0.00110, а чёткость числа 0.10110012 – 1/27 = 0.007812510.
Используя нашу формулу, можно легко сравнить чёткость этих двух чисел:
