Глава 7. Траляля или Труляля?




 

Следующее приключение Алисы было гораздо более приятным.

— Терпеть не могу эти экзамены, — сказала про себя Алиса, вскоре после того как она рассталась с Королевами. — Они так напоминают мне о школе!

И тут Алиса чуть не налетела на Траляля и Труляля. Братцы ухмыляясь глядели на нее из-под дерева, которое росло рядом с их домиком. Алиса внимательно посмотрела на их воротнички: на одном из них должно было быть вышито «ТРА», а на другом — «ТРУ», но на воротничках никакой вышивки не было.

— Боюсь, что без вышитых воротничков я не сумею вас различить, — заметила вслух Алиса.

— Воспользуйся логикой, — посоветовал один из братцев, держа другого в крепких объятиях. — Мы знали, что ты заглянешь в наши края, и приготовили для тебя несколько интересных логических игр. Ты ведь любишь логические игры?

— А что это за игры? — спросила Алиса.

— Мы знаем две игры. Первая называется «Кто из нас Труляля и кто Траляля?». Вторая называется «Кто из нас Траляля и кто Труляля?». С какой игры ты хотела бы начать?

— Оба названия звучат очень похоже, — заметила Алиса. — Их нетрудно спутать!

— Звучат они, может быть, и похоже, — согласился один из собеседников Алисы, — но это еще не значит, что они похожи. Ни в коем разе!

— И задом наперед — совсем наоборот? — добавил другой. — Если бы они были похожи, то не были бы похожи, а если бы они не были похожи, то могли бы быть похожи. Следовательно, они не похожи. Такова логика?

— Видишь, эта карта красной масти. Тот, у кого карта красной масти, говорит правду. Тот, у кого карта черной масти, лжет. У моего братца (собеседник Алисы указал на своего соседа) в кармане также карта либо красной, либо черной масти. Он скажет одну фразу. Если у него в кармане карта красной масти, то он выскажет истинное утверждение. Если же у него в кармане карта черной масти, то он выскажет ложное утверждение. Ты должна узнать, кто он — Труляля или Траляля.

— Звучит очень заманчиво! — сказала Алиса. — Хотела бы я сыграть в эту игру!

— После того как ты определишь, кто он, тебе еще понадобится определить, кто я.

— Всенепременно!

— Но это же глупо! — возмутилась Алиса, рассмеявшись. — Ведь совершенно ясно, что если он Труляля, то вы Траляля, а если он Траляля, то вы просто обязаны быть Труляля. Это вам и последний глупец скажет!

— Совершенно верно! — согласился первый братец. — А теперь за игру!

Алиса задумалась.

— Если тебя смущают эти названия, — сказал первый братец, — то должен тебя обрадовать: у каждой из игр есть еще и другое название. Первая игра называется также «Красное и черное», а вторая — «Оранжевое и пурпурное».

— А как играют в эти игры? — спросила Алиса.

— Каждая игра проводится в шесть раундов, — пояснил первый братец. — Сыграем сначала в первую игру — в «Красное и черное».

С этими словами он вынул из кармана игральную карту (это была Королева Бубен) и показал ее Алисе.

Первая игра — «Красное и черное»

64. Первый раунд

— Позвольте представиться: Траляля, — заговорил вдруг второй братец. — У меня в кармане карта черной масти.

(Это следует воспринимать как: «Меня зовут Траляля И у меня в кармане карта черной масти», иначе задача не будет иметь решения — SStas)

Алиса без труда определила, кем он был на самом деле. Кем?

— Поздравляем! — сказали одновременно оба братца, пожимая Алисе один правую, а другой левую руку. — Первый раунд ты выиграла!

— Перед каждым из следующих четырех раундов, — сказал первый братец, — мы будем заходить к себе в домик, где у нас лежит колода карт. Мы ее хорошенько перетасуем, а затем один из нас вытянет одну карту, спрячет ее в карман и, выйдя из домика, выскажет какое-нибудь утверждение, а ты должна будешь определить, кто из нас перед тобой.

— А у того, кто будет говорить, карта в кармане той же масти, что и в предыдущем раунде? — спросила Алиса.

— Не обязательно, — последовал ответ. — Ведь каждый раз, когда мы заходим в домик, игра начинается заново, и мы вольны выбрать себе карту любой масти.

— Понятно, — кивнула Алиса.

65. Второй раунд

Оба братца зашли в домик. Вскоре один из них вышел с картой в кармане и заявил:

— Если я Траляля, то у меня в кармане карта не черной масти. Кто это был?

Эта задача показалась Алисе гораздо более трудной, чем первая, но в конце концов она решила и вторую задачу.

Итак, кто это был?

66. Третий раунд

В этом раунде один из братцев, выйдя из домика, сказал:

— Либо я Траляля, либо у меня в кармане карта черной масти.

Кто это был?

67. Четвертый раунд

В этом раунде один из братцев, выйдя из домика, заявил:

— Либо я Траляля с картой черной масти в кармане, либо я Труляля с картой красной масти в кармане.

Кто это был?

68. Пятый раунд

На этот раз один из братцев, выйдя из домика, заявил:

— У Траляля в кармане карта черной масти.

Кто это был?

— Прекрасно! — заявил он, обращаясь к Алисе. — Ты великолепно справилась с задачей пятого раунда. Но последний раунд нашей игры еще труднее. Сейчас я войду в домик, перетасую всю колоду, после чего мой братец и я выберем себе по одной карте красной или черной масти и вдвоем выйдем из домика. Карты у нас могут быть и одной масти, и различных мастей. Затем каждый из нас выскажет по одному утверждению, а ты по этим двум утверждениям должна будешь определить, кто из нас Траляля и кто Труляля.

— Эта задача потруднее! — сказала Алиса.

— Вдвое труднее, — подтвердил Труляля.

69. Шестой раунд

Труляля зашел в домик, откуда вскоре вышли оба братца. «До чего же они похожи!» — подумала Алиса. Один из братцев (назовем его первым) встал слева от Алисы, а другой (назовем его вторым) — справа, после чего они высказали следующие утверждения:

Первый братец. Моего братца зовут Труляля, и у него карта черной масти.

Второй братец. Моего братца зовут Траляля, и у него карта красной масти.

Кто из братцев Траляля и кто Труляля?

Вторая игра — «Оранжевое и пурпурное»

— Поздравляем! — закричали оба братца. — Ты великолепно выиграла все раунды!

— Переходим к следующей игре, — сообщил Траляля. — Она еще интереснее и также проводится в шесть раундов! Перед каждым раундом мы с братцем зайдем в свой домик, где у нас есть еще одна колода игральных карт. Только масть у них не обычная красная и черная, а оранжевая и пурпурная.

— А где вы достали такие карты? — спросила Алиса.

— Мы изготовили их сами, — ответил Траляля, — специально для этого случая.

Алису очень тронула такая забота. Подумать только, столько трудов и все ради какого-то одного случая!

— Должен сказать, — добавил Траляля, — что карты очень красивые и делать их было одно удовольствие.

Вдвоем или поодиночке мы будем выходить из домика и высказывать какие-то утверждения, а ты должна будешь определить, кто из нас Траляля и кто Труляля.

— Минуточку, — попросила Алиса, — вы ничего не сказали о том, что означают столь необычные масти. Может быть, одна из мастей означает ложь, а другая истину? Если да, то какая из мастей что означает?

— Так ведь это самое интересное во второй игре! — вскричал Траляля. — Если у меня карта оранжевой масти, то это означает, что я говорю правду, а если у меня карта пурпурной масти, то это означает, что я лгу!

— И задом наперед — совсем наоборот! — вмешался Труляля. — Если у меня карта оранжевой масти, то это означает, что я лгу, а если у меня карта пурпурной масти, то это означает, что я говорю правду!

— Все это так сложно! — вздохнула Алиса.

— Ничуть! — успокоил ее Траляля. — Это только сначала так кажется, а потом ничего, привыкнешь! Так как? Начнем игру?

— Да-а, — согласилась Алиса не без сомнения.

70. Первый раунд

Оба братца вошли в свой домик. Вскоре один из них вышел и заявил:

— У меня карта пурпурной масти.

Решить задачу оказалось проще, чем ожидала Алиса. Кто вышел из домика?

71. Второй раунд

В следующем (втором) раунде из домика вышли оба братца и высказали следующие утверждения:

Первый братец. Меня зовут Траляля.

Второй братец. Меня зовут Траляля.

Первый братец. У моего братца карта оранжевой масти.

Кто из братцев Траляля?

72. Третий раунд

В этом раунде братцы заявили следующее:

Первый братец. Труляля — это я.

Второй братец. Траляля — это я.

Первый братец. Карты у нас одной масти.

Кто есть кто?

73. Четвертый раунд

Алисе этот раунд показался особенно интересным.

Первый братец. Обе карты у нас пурпурной масти.

Второй братец. Это неправда!

Кто есть кто?

74. Пятый раунд

На этот раз братцы высказали следующие утверждения:

Первый братец. По крайней мере одна из наших карт пурпурной масти.

Второй братец. Это правда.

Первый братец. Меня зовут Траляля.

Кто есть кто?

75. Шестой раунд

— В этом раунде, — сказал один из братцев, — правила остаются теми же, а вопрос, на который ты должна ответить, звучит иначе. Вместо того чтобы определять, кто из нас Труляля и кто Траляля, ты должна узнать, кто из нас лжет и кто говорит правду.

Оба братца вошли в дом, а когда вышли, заявили следующее:

Первый братец. Карты у нас одной масти.

Второй братец. Карты у нас не одной масти.

Кто из братцев говорит правду?

Третья игра — два дополнительных раунда

Оба братца тепло поздравили Алису: ведь она выиграла подряд все раунды до единого!

— Прежде чем ты отправишься дальше, — сказал с лукавой улыбкой Труляля, — мы с братцем хотим предложить тебе две сверхнеобыкновенные игры, каждая по одному раунду. Карты нам больше не понадобятся, мы будем играть знаками. Играть будем так. Мы с братцем заходим в домик. Потом один из нас выходит первым, а второй — немного погодя с большим знаком (вроде дорожного), на котором вопрос будет написан такими крупными буквами, что и ты и тот, кто вышел первым, легко разберете его издали. Прочитав вопрос, тот из нас, кто вышел первым, отвечает знаком, рисуя в воздухе квадрат или круг. Один из этих знаков означает «да», другой — «нет», но, какой из знаков что означает, мы тебе не скажем. Знак, означающий «да», нарисован на оборотной стороне того знака с вопросом, но мы не покажем тебе ее, пока ты не скажешь, кто из нас Труляля и кто Траляля. Разумеется, тот из нас, кто вышел первым (ему предстоит отвечать на вопрос), видел, что нарисовано на оборотной стороне знака, и поэтому знает, какой знак означает «да», а какой «нет». Но, отвечая на вопрос на языке знаков, он может не только говорить правду, но и лгать!

— Боюсь, что я не совсем вас понимаю, — сказала Алиса.

— Я имею в виду, что если, например, круг означает «да», то тот из нас, кто говорит правду, в ответ на вопрос нарисует в воздухе круг, а тот, кто лжет, нарисует квадрат.

— Вот теперь все понятно! — обрадовалась Алиса.

— Прекрасно! Тогда начнем! Да, хочу предупредить тебя еще вот о чем. Мы с братцем договорились, что если на вопрос отвечает Траляля, то он лжет, а если Труляля, то он говорит правду.

76. Кто есть кто?

Оба братца зашли в домик. Почти сразу же один вышел и молча встал рядом с Алисой. Вскоре из домика появился и второй братец со «знаком», на котором было написано:

Квадрат ли начерчен на оборотной стороне этого знака?

Братец, стоявший рядом с Алисой, в ответ нарисовал в воздухе круг. Кто из братцев Траляля?

77. О чем спросила Алиса?

— Поздравляем! — закричали братцы, — Ты опять выиграла.

— А теперь самая интересная из всех игр! — сказал Труляля. — Выиграешь ее — получишь специальный приз!

— На этот раз, — продолжал он, — мы не договорились между собой, кто из нас лжет и кто говорит правду. Поэтому мы поступим так. Мы оба войдем в домик и оба выйдем. У каждого из нас в кармане будет по карте красной или черной масти. Тот, у кого карта красной масти, говорит правду. Тот, у кого карта черной масти, лжет. Кроме того, у одного из нас в другом кармане припрятан специальный приз. Угадаешь, у кого из нас приз, получишь его. Кто из нас Труляля и кто Траляля, на этот раз неважно. Твое дело угадать, у кого приз. Когда мы выйдем из домика, ты укажешь на одного из нас и задашь ему вопрос, только такой, чтобы на него можно было ответить «да» или «нет». Тот, кому ты задашь вопрос, ответит тебе знаком. Он нарисует в воздухе квадрат или круг. Но вот что важно: если приз у него, то квадрат означает «да», а круг означает «нет». Если же приз не у него, то квадрат означает «нет», а круг означает «да». К тому же он может либо говорить правду, либо лгать — в зависимости от того, какой масти у него карта — красной или черной.

— А какой вопрос я должна ему задать? — поинтересовалась Алиса.

— А это уж тебе знать лучше! — торжествующе ответил Труляля. — Выбрать правильный вопрос — самое трудное в этой игре. Сумеешь придумать правильный вопрос — получишь приз. Непременно!

— Боюсь, что без карандаша и бумаги на этот раз не обойтись, — заметила Алиса. — Кроме того, отправляясь в Зазеркалье, я забыла взять с собой мою записную книжку.

Труляля быстро сбегал в дом и принес блокнот и карандаш.

— Мы с братцем побудем в домике, пока ты придумаешь свой вопрос. Когда у тебя все будет готово, ты нас позовешь и мы выйдем. Времени у тебя предостаточно — думай, сколько хочешь.

Братцы отправились к себе в домик, а Алиса принялась напряженно размышлять над задачей. Наконец она закричала:

— Готово!

Братцы вышли из домика, Алиса задала одному из них свой вопрос, и тот ответил, нарисовав в воздухе либо квадрат, либо круг. Тогда Алиса указала пальцем на одного из братцев и сказала:

— Приз у вас!

Приз действительно оказался у него. Какой вопрос, позволивший сразу определить, у кого находится приз, придумала Алиса?

— Прими еще раз наши поздравления! — сказали оба братца. — Ты безусловно заслужила свой приз!

С этими словами они вручили Алисе приз, изящно упакованный в бумагу и перевязанный ленточкой. Алиса принялась разворачивать упаковку, но напрасно: чем больше она разворачивала, тем плотнее становилась упаковка!

— Разве ты забыла, что находишься в Зазеркалье? — спросил один из братцев.

— Ах да! — вспомнила Алиса и принялась заворачивать сверток в упаковочную бумагу и завязывать ленточку. Правильный подход не замедлил сказаться: словно по волшебству, сверток сам собой развернулся! Призом были карандаш и новенькая очень красивая записная книжка.

 

Глава 8. И это самое прекрасное в ней!

 

«Вот это действительно было интересно! — сказала про себя Алиса вскоре после того, как она рассталась с Траляля и Труляля. — Гораздо лучше, чем сдавать эти противные скучные экзамены! И записная книжечка такая красивая! Как раз то, что мне нужно!» Подумав так, Алиса присела на пенек и некоторое время занималась тем, что заносила в свою новенькую записную книжку различные приключения, которые ей хотелось запомнить, в особенности логические игры, в которые она играла с Траляля и Труляля. Заметок оказалось так много, что Алиса исписала целых девять страничек.

«А теперь в путь, — подумала Алиса, поднимаясь с пенька. — Интересно, встречу ли я Белого Рыцаря? Мне бы очень хотелось повидаться с ним. Мне так много нужно ему рассказать!»

Вскоре Алиса увидела Шалтая-Болтая. Он сидел на том же самом месте на той же самой стене. Увидев Алису, он ухмыльнулся во весь рот — от уха до уха.

— Чистая работа! Чисто сделано! — сказал он.

— Что чисто сделано? — спросила Алиса.

— Как что? Ловко ты одурачила этих Королев с их двенадцатым вопросом! Поделом им! Нечего приставать к тебе с этим дурацким экзаменом!

— Как, вы об этом знаете? — удивилась Алиса.

— Должен заметить, однако, — начал Шалтай-Болтай, — что если бы я устроил тебе экзамен, то…

— Пожалуйста, не нужно никаких экзаменов! — поспешно перебила его Алиса.

— Если бы я устроил тебе экзамен, — повторил Шалтай-Болтай, — то… Как ты думаешь, что бы я сделал?

— Не имею ни малейшего представления, — ответила Алиса с некоторым беспокойством.

— Так знай же, дитя мое, что если бы я вздумал устроить тебе экзамен (заметь, что я и не думаю делать этого!), но если бы я все же вздумал устроить тебе экзамен, то задавал бы тебе только такие вопросы, на которые нет ответа! Такие вопросы лучше всего, уж поверь мне!

— А какой смысл задавать вопросы, на которые нет ответа? — спросила Алиса.

— Именно такие вопросы и заставляют думать, — ответил Шалтай-Болтай.

— Думать о чем? — спросила Алиса.

— О том, каким мог бы быть ответ! — ответил Шалтай-Болтай.

— Но вы же сами сказали, если мне не послышалось, что ответов на эти вопросы нет.

— Нет, — подтвердил Шалтай-Болтай, — и это самое прекрасное в них!

Алиса немного подумала, но, как она ни старалась, не смогла придать хоть какой-нибудь смысл словам Шалтая-Болтая.

— А вы не могли бы привести хоть один пример такого вопроса? — попросила Алиса.

— Вот теперь ты говоришь как разумный ребенок, — похвалил ее Шалтай-Болтай. — Почему же не могу? Хочешь, я, не сходя с места, придумаю тебе два примера? С какого ты предпочла бы начать?

— Откуда я знаю? — сказала Алиса. — Я же не знаю, какие примеры вы придумаете. Как же я могу сказать, с какого примера лучше начать?

— Ты абсолютно права! — просиял ШалтайБолтай. — Вот это то, что я называю логически мыслящим ребенком! Я приведу сейчас замечательный пример вопроса, на который нет ответа. Вот как он звучит:

— Можно ли считать «нет» правильным ответом на этот вопрос?

— На какой вопрос? — спросила Алиса.

— На вопрос, который я только что задал! — пояснил Шалтай-Болтай.

Алиса немного подумала.

— Нет, — сказала она, — конечно же, нет!

— Вот ты и попалась! — с гордостью заявил Шалтай-Болтай.

— Как? — не поверила Алиса.

— Суди сама, дитя мое! На мой вопрос ты ответила «нет», правильно?

— Правильно! — согласилась Алиса.

— А разве ты ответила правильно? — спросил Шалтай-Болтай.

— Конечно! — уверенно ответила Алиса. — Какие могут быть сомнения?

— Вот тут-то ты и попалась! — заявил ШалтайБолтай. — Так как ты ответила «нет» и ответила правильно, то на заданный вопрос правильного ответа не существует!

— Именно это я и утверждаю! — сказала Алиса.

— Не совсем так! Если «нет» — правильный ответ, то когда я спрашиваю тебя, можно ли считать его правильным, ты должна была бы ответить «да», а не «нет»!

Алиса задумалась, и внезапно ей все стало ясно.

— Ну конечно же! — закричала она. — Вы абсолютно правы! Я должна была бы ответить «да», а не «нет»!

— Вот ты и опять попалась! — торжествующе заметил Шалтай-Болтай.

— Почему? — в изумлении воскликнула Алиса.

— Конечно, попалась, дитя мое! — «Да» не может быть правильным ответом!

— Почему? — спросила Алиса, удивленная еще больше, чем прежде.

— Ответить «да» — значит утверждать, что «нет» — правильный ответ. Но если «нет» — правильный ответ, то ты должна была бы дать его вместо того, чтобы давать неправильный ответ «да»!

— Ах так! — сказала Алиса, окончательно запутавшись. — Выходит, я правильно ответила в первый раз. Значит, на ваш вопрос мне все же следовало ответить «нет».

— Вовсе не следовало! — резко оборвал ее Шалтай-Болтай. — Я же доказал тебе это!

— Сдаюсь! — устало сказала Алиса. — А какой ответ правильный?

— Правильного ответа не существует, — торжествующе заявил Шалтай-Болтай, — и это — самое прекрасное в таких вопросах!

— А откуда вы берете эти головоломные вопросы? — спросила Алиса.

— Я придумываю их сам! — с гордостью ответил Шалтай-Болтай.

— Разве я не прав?

— Правы в чем? — спросила Алиса.

— Разве такие вопросы не заставляют думать?

— Еще как заставляют! — призналась Алиса. — У меня от вашего вопроса чуть не разболелась голова! Уж не парадокс ли ваш вопрос?

— Вот именно, дитя мое! Великолепный пример парадокса, и это — самое прекрасное в нем! Я сам его придумал!

— Знаю, — подтвердила Алиса. — Вы повторили это уже дважды.

— Не совсем! — возразил Шалтай-Болтай. — Я сказал это дважды, а повторил только один раз.

— Но дело не в этом, — продолжал он. — Обычно парадоксам придают форму утверждений, а не вопросов. Мой же парадокс (и в этом его новизна) облечен в форму вопроса, а не утверждения. В основе его та же замечательная идея, которая заложена в знаменитом утверждении, утверждающем, что оно ложно!

— А что это за утверждение? — спросила Алиса.

— Это очень известное утверждение. Если хочешь, могу записать тебе его на память.

Алиса протянула Шалтаю-Болтаю карандаш и записную книжку. Шалтай-Болтай просмотрел первые девять страниц.

— Очень интересно, — заметил он, — но ты забыла пронумеровать страницы. Не забывай, что страницы нужно непременно нумеровать. Иначе как ты узнаешь, какая страница за какой следует?

— Но ведь странички не вырваны из записной книжки, — возразила Алиса, — а переплетены вместе, поэтому сразу видно, какая страничка за какой следует!

— Все равно страницы нужно нумеровать! — настаивал Шалтай-Болтай. — Я их тебе сейчас перенумерую.

Он перенумеровал первые девять страниц, а затем еще чистые десятую и одиннадцатую страницы. Затем на десятой странице он написал

— 10 — Утверждение на странице 10 ложно — и отдал записную книжку Алисе.

— Что ты теперь скажешь? — спросил ШалтайБолтай. — Истинно или ложно утверждение на странице 10 твоей записной книжки?

— На этот вопрос невозможно ответить, — сказала Алиса, немного подумав. — Оно может быть и истинным, и ложным.

— Неправильно! — воскликнул Шалтай-Болтай. — Неправильно, что оно может быть и истинным, и ложным. Оно не может быть ни истинным, ни ложным!

— А почему? — спросила Алиса.

— Сейчас объясню, дитя мое. Как, по-твоему, может ли это утверждение быть истинным?

— А почему бы нет? — удивилась Алиса.

— Хорошо, будь по-твоему. Предположим, что это утверждение истинно. Тогда то, что в нем говорится, должно соответствовать действительности. Но в нем говорится, что оно ложно. Следовательно, в действительности оно должно быть ложно. Значит, если оно истинно, то оно ложно. Но одно и то же утверждение не может быть одновременно и истинным, и ложным. Следовательно, оно не может быть истинным.

— Совершенно верно! — сказала Алиса. — А раз оно не может быть истинным, то должно быть ложным.

— Опять неправильно! — торжествующе сказал Шалтай-Болтай. — Оно не может быть и ложным!

— А почему? — спросила Алиса.

— А вот почему. Предположим, что оно ложно. Тогда то, что в нем говорится, не соответствует действительности. Но в нем говорится, что оно ложно. Поскольку то, что в нем говорится, не соответствует действительности, оно в действительности не ложно. Значит, в действительности оно истинно. Следовательно, если оно ложно, то оно истинно, и мы опять приходим к противоречию. Значит, это утверждение не может быть ложным. Вот тебе и весь сказ!

— Как же быть? — огорченно сказала Алиса. — Я опять в таком же затруднительном положении, как с вашей первой задачей!

— Совершенно верно! — согласился Шалтай-Болтай. И это самое прекрасное.

— Припоминаю, — продолжала Алиса, — что мне приходилось слышать о похожем парадоксе и раньше — историю о древнегреческом философе Эпимениде Критском. По преданию, он сказал:

«Все критяне лжецы». Если Эпименид говорит правду, то он лжет, а если Эпименид лжет, то он говорит правду. Это и есть парадокс.

— Неправильно! — решительно возразил Шалтай-Болтай. — Это не парадокс, а распространенная логическая ошибка. Одна из таких ошибок, которые только выглядят как парадокс, а на самом деле никакой это не парадокс!

— Не могли бы вы объяснить это мне подробнее? — попросила Алиса.

— Прежде всего выясним, кого ты называешь лжецом — того, кто все время лжет, или того, кто лжет время от времени?

— Я никогда не задумывалась над этим раньше, — призналась Алиса, — но, полагаю, что даже того, кто лжет время от времени, следовало бы называть лжецом.

— Тогда то, о чем ты говоришь, заведомо не парадокс, — ответил Шалтай-Болтай. — Утверждение Эпименида вполне может быть истинным, если понимать слово «лжец» по-твоему. Оно означает лишь, что все критяне время от времени лгут. Сам Эпименид, будучи критянином, также время от времени лжет, но это отнюдь не означает, что высказанное им вполне определенное утверждение о критянах (а нас интересует именно такое утверждение — о том, что все критяне лжецы) ложно. Как видишь, никакого парадокса тут нет.

— Вижу, — сказала Алиса. — Наверное, мне нужно было иначе определить, что такое лжец? По-видимому, лжец — это человек, который всегда лжет. Может быть, тут мы придем к парадоксу?

— Нет, и тогда никакого парадокса не возникло бы, — уверил ее Шалтай-Болтай. — Если определить лжеца так, как ты теперь предлагаешь, то утверждение Эпименида не может быть истинным. Действительно, если все критяне всегда лгут, то и Эпименид, будучи критянином, также всегда лжет. Следовательно, он лгал и тогда, когда высказывал свое утверждение. Таким образом, если бы оно было истинным, то должно было бы быть ложным, и мы приходим к противоречию.

— Да ведь это парадокс! — сказала Алиса.

— Нет! — возразил Шалтай-Болтай. — Противоречие возникает только в том случае, если мы предположим, что утверждение истинно. Если считать, что утверждение ложно, то никакого противоречия не возникает!

— Объясните, пожалуйста, а то мне не совсем понятно, — попросила Алиса.

— Охотно, — согласился Шалтай-Болтай. — Что мы имеем в виду, когда говорим, что утверждение Эпименида ложно? Очевидно, следующее: неверно, что все критяне лжецы. Иначе говоря, по крайней мере один критянин время от времени говорит правду. Значит, из утверждения Эпименида следует лишь, что он лжет и что по крайней мере один критянин время от времени говорит правду, а это совсем не парадокс!

— Как интересно! — воскликнула Алиса.

— Кстати сказать, — заметил Шалтай-Болтай, — если мы примем дополнительно два допущения о том, что Эпименид — единственный критянин и что высказанное им утверждение — единственное утверждение, когдалибо сделанное им за всю жизнь, то действительно получим парадокс! Он будет в точности таким же, как то утверждение, которое я написал на листке из твоей записной книжки. Помнишь, в нем говорилось о том, что оно ложно?

— Поразмысли над этим, — посоветовал Шалтай Болтай. — а я хочу предложить тебе провести еще один опыт. Не дашь ли ты мне еще раз свою записную книжку?

Алиса с готовностью протянула ему карандаш и записную книжку. Шалтай-Болтай что-то написал в ней и, вернув записную книжку, сказал:

— Взгляни на страницу 11. Истинно написанное там утверждение или ложно?

Алиса открыла записную книжку на странице 11 и прочитала:

— 11 — Утверждение на странице 11 истинно

Алиса немного подумала и ответила:

— Я ничего не могу сказать. Мне кажется, что оно может быть и истинным, и ложным. Если оно истинно, то никакого противоречия не возникает. Если же оно ложно, то никакого противоречия также не возникает.

— На этот раз ты абсолютно права! — согласился Шалтай-Болтай. — Да ты, я вижу, хамелеонная девочка!

— Что вы имеете в виду? — удивилась Алиса.

— А то, что ты говоришь то неправильно, то правильно, совсем как хамелеон, который меняет свою окраску: то он одного цвета, то другого.

Такое употребление слова «хамелеонный» показалось Алисе весьма странным. Впрочем, у Шалтая-Болтая (как она вспомнила) слова означали только то, что он хотел, не больше и не меньше.

— Я хотел бы провести еще один опыт, — сказал Шалтай-Болтай. — Дай-ка мне еще раз твою записную книжку.

Взяв у Алисы ее записную книжку, Шалтай-Болтай стер номера 10-й и 11-й страниц и вместо 10 написал 11, а там, где стоял номер 11, написал 10, после чего странички стали выглядеть так:

— 10 — Утверждение на странице 11 ложно

— 11 — Утверждение на странице 10 истинно

— Как, по-твоему, — спросил Шалтай-Болтай, — ложно или истинно утверждение на странице 11?

Алиса задумалась, как вдруг ей в голову пришло решение.

— Утверждение на странице 11 не может быть ни ложным, ни истинным, — сказала она. — Это еще один парадокс!

— Правильно! — сказал Шалтай-Болтай. — Но как это доказать?

— Очень просто, — сказала Алиса. — В утверждении на странице 11 в действительности говорится только не прямо, а косвенно, что оно ложно: в нем говорится, что истинно утверждение на странице 10, в котором говорится, что утверждение на странице 11 ложно. Следовательно, если утверждение на странице 11 истинно, то оно должно быть ложно, а если оно ложно, то должно быть истинно, и мы снова получаем парадокс.

— Ты растешь прямо на глазах! — воскликнул Шалтай-Болтай, очень довольный своей ученицей.

— Вы знаете, есть один парадокс, который мне так и не удалось решить, сколько я ни старалась, — сказала Алиса. — Может быть, вы сможете мне чем-нибудь помочь?

— Буду очень рад, — ответил Шалтай-Болтай, которому очень польстила просьба Алисы. — Я перерешал все задачи, которые когда-либо были изобретены, и еще больше задач, которые никогда не были изобретены. Так в чем твоя задача?

— В ней говорится о брадобрее, — сказала Алиса. — В одном небольшом городе жил брадобрей, который брил всех жителей города, которые не брились сами. Брился ли сам брадобрей или не брился?

— Это очень старая и очень легкая задача! — засмеялся Шалтай-Болтай.

— Но я не вижу ни одного приемлемого решения! — сказала Алиса. — Я думала над этой задачей довольно долго, но ничего путного так и не придумала. Если брадобрей бреется сам, то он нарушает свое правило, по которому он бреет только тех жителей, которые сами не бреются. Если же брадобрей сам не бреется, то он принадлежит к числу тех жителей города, которые сами не бреются, а так как таких жителей он бреет, то должен брить и самого себя. Таким образом, бреется брадобрей или не бреется, мы приходим к противоречию! Разрешить его, сказав: «Утверждение о том, что брадобрей бреется сам, не истинно и не ложно», — мы не можем, так как он либо бреется сам, либо не бреется, поэтому утверждение должно быть либо истинным, либо ложным.

— Кто бреется сам? — спросил Шалтай-Болтай.

— Как это кто? Брадобрей!

— Какой брадобрей? — допытывался Шалтай-Болтай.

— Брадобрей из истории о брадобрее! — ответила Алиса чуточку нетерпеливо.

— Ах вот кто! — протянул Шалтай-Болтай. — А кто сказал, что эта история правдива? Алиса немного подумала.

— Послушайте, — сказала она. — Дано, что брадобрей ведет себя так, как об этом говорится в истории. Когда вы решаете задачу, разве можно отрицать то, что дано в ее условиях?

— А разве нельзя? — удивился Шалтай-Болтай. — Даже если то, что дано, внутренне противоречиво? Такая идея не приходила Алисе в голову.

— В действительности, — продолжал Шалтай-Болтай, — такого брадобрея нет, не было и не будет. Такого брадобрея просто не могло быть потому, что, если бы он был, возникло бы противоречие.

Алисе объяснение Шалтая-Болтая показалось не очень убедительным.

— Подумай сама, — настаивал Шалтай-Болтай не без раздражения. — Предположим, я скажу тебе, что был на свете человек ростом шесть футов, а человек не был ростом шесть футов. Что ты на это скажешь?

— Скажу, что такого человека не было, — ответила Алиса.

— Хорошо! А предположим, я скажу тебе, что был на свете брадобрей, который сам ни брился, ни не брился. Что ты на это скажешь?

— Скажу, что такого брадобрея на свете не было, — ответила Алиса.

— Прекрасно! Именно о таком брадобрее и идет речь в твоей истории! Ведь твой брадобрей не мог бы ни бриться сам, ни не бриться сам! Следовательно, такого брадобрея на свете не было. Вот тебе логика!

На этот раз объяснения Шалтая-Болтая полностью убедили Алису.

— Существует близкая задача, которая позволяет яснее представить себе всю проблему. — продолжал Шалтай-Болтай. — В некотором городе живут два брадобрея. Назовем их брадобрей A и брадобрей B. Дано, что брадобрей A бреет всех жителей города, которые не бреются сами, но не дано, что он не бреет еще каких-нибудь жителей города. Относительно брадобрея B известно, что он не бреет ни одного жителя города, который бреется сам, но не обязательно бреет всех жителей города, которые не бреются сами. В этом случае вполне возможно, что брадобреи A и B существуют. Такое предположение ничему не противоречит.

— А в чем задача? — спросила Алиса.

— Задача состоит из двух частей. Бреет ли себя или не бреет брадобрей A? И бреет ли себя или не бреет брадобрей B?

Алиса немного подумала.

— Брадобрей A бреется сам, а брадобрей B сам не бреется, — ответила она, необычайно гордая своей сообразительностью.

— Хорошо! Очень хорошо! — похвалил ее Шалтай-Болтай. — А не можешь ли ты объяснить мне, почему?

— Потому, — начала весьма уверенно Алиса, — что если бы брадобрей A не брился сам, то он был бы одним из тех, кто не бреется сам, а поскольку всех таких жителей города он бреет, то должен был бы брить и самого себя, и мы приходим к противоречию. Следовательно, брадобрей A не бреется сам. Относительно брадобрея B можно сказать, что если бы он брился сам, то брил бы жителя города, который бреется сам, чего он никогда не делает. Значит, брадобрей B не может брить самого себя.

— Ты растешь просто на глазах! — сказал Шалтай-Болтай. — Тебе необычайно повезло, что у тебя такой прекрасный учитель!

Алиса не знала, что сказать на это. С одной стороны, уроки логики, которые преподал ей ШалтайБолтай, действительно были весьма поучительными! И все же ее не покидало ощущение, что он чуточку хвастает!

— Вы сказали, что это позволяет по-новому взглянуть на задачу о брадобрее, — напомнила Алиса. — Какая же связь существует между задачей об одном брадобрее и задачей о двух брадобреях?

— Я очень рад, что ты спросила об этом, — оживился Шалтай-Болтай. — Видишь ли, на свете вполне мог бы быть такой брадобрей, как A, и он должен был бы бриться сам. На свете вполне мог бы быть и такой брадобрей, как B, только он не мог бы бриться сам. Но ни один брадобрей не мог бы быть одновременно и брадобреем A, и брадобреем B! Между тем в исходной задаче речь шла об одном брадобрее, который совмещал в себе отличительные особенности и брадобрея A, и брадобрея B, а именно это и невозможно!

— Понятно! — воскликнула Алиса. — Как интересно!

— Есть у меня еще одна задачка для тебя, — сказал Шалтай-Болтай. — В отличие от предыдущей она допускает вполне определенное решение. Слышала ли ты что-нибудь о «Клубе Червей»?

— Ничего! Терпеть не могу червей, — ответила Алиса. — да еще свернувшихся в клуб! Нет, о клубе червей я ничего не слышала!

— Прекрасно! — продолжал Шалтай-Болтай. — Тогда тебе досталось то, что надо!

— А что надо?

— Как что? Разумеется, та самая задача, которую я хочу тебе задать. Ведь я спросил тебя, что ты знаешь о «Клубе Червей», а ты ответила, что не знаешь ничего. Значит, и про задачу о «Клубе Червей» ты ничего не знаешь!

— Правильно! — согласилась Алиса. — Но как вы узнали, что мне надо?

— Очень просто! Я сам придумал эту задачу и никому ее еще не рассказывал.

— А что это за задача о «Клубе Червей»? — спросила Алиса.

— Видишь ли, жители одного города очень любили создавать различные клубы. Один клуб получил название «Клуб Червей». О нем нам известно следующее:

Первое. Любая жительница города, если она не состоит членом всех клубов, состоит членом «Клуба Червей».

Второе. Ни один житель города не состоит членом «Клуба Червей», если не существует по крайней мере еще один клуб, членом которого он не состоит.

Третье. Какой бы из клубов мы ни выбрали, все мужское население города, не состоящее членами этого клуба, влюблено в каждую жительницу города, состоящую членом «Клуба Червей».

Лиллиан живет в этом городе, — продолжал Шалтай-Болтай. — Неизвестно, однако, состоит ли она членом «Клуба Червей». Ричард также живет в этом городе. Относительно него также неизвестно, состоит ли он членом «Клуба Червей».

Спрашивается, можно ли определить, любит



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: