Локальный и глобальный экстремумы

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Производные некоторых элементарных функций

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

 

 

Техника дифференцирования

Занятие 1

Устно:

 

1. Вычислить первую производную функции

Устно:

 

 

Устно:

 

Производные сложных функций

 

Занятие 2.

Устно:

 

2. Найти значение :

3. Найти при : .

4. Функция задана уравнением . Найти при .

 

Устно: Найти дифференциал функции

 

 

Дома.

1. Найти : .

2. Найти значения при : .

3. Дано: Найти .

Ответы: 1. 3.

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Занятие 1.

Правило Лопиталя

Вычислить пределы функций

 

5.100		5.103		5.106
5.101		5.104		5.107
5.102		5.105		5.108

 

Дома.

Вычислить пределы, используя правило Лопиталя

 

5.109		5.111		5.113
5.110		5.112		5.114

Ответы.

Занятие 2.

Исследование функции

1. ОДЗ   2. а) Вертикальная асимптота б) Наклонная асимптота , где   - критическая точка, если     5.

 

Провести полное исследование и построить график функции

 

5.115

5.116

5.117

Устно. Для функции указать точки экстремума, точки перегиба, интервалы возрастания, выпуклости.

5.118. По графику функции построить эскизы графиков

 

 

5.119. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

.

5.120. Какими должны быть размеры банки цилиндрической формы, чтобы при фиксированном объеме площадь ее поверхности была наименьшей?

 

Дома.

Построить графики функций

5.121

5.122

 

5.123. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

.

5.124. Из пункта А в пункт В отправляется лодка со скоростью 10 км\ч. Из пункта В в С отправляется в это же время катер со скоростью 15 км\ч. Через какое время расстояние между ними будет наименьшим, если от А до В 190 км и угол АВС – ?

 

Ответы.

5.115	5.116	5.117

5.121.

5.122.

5.124. Через 7 часов.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Поверхность уровня Полный дифференциал   Производная неявно заданной функции Градиент Производная по направлению Локальный экстремум Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке

Занятие 1.

Область определения. Поверхность уровня.

Частные производные. Дифференциал

6.1. Изобразить на плоскости область определения функции

6.2. Для функции построить поверхность уровня , поверхность уровня, проходящую через точку .

Устно. Восстановить функцию двух переменных по линиям уровня

6.3. Найти частные производные первого порядка

Устно. Найти : г)

 

6.4. Найти: , если .

Устно. Найти :

6.5. Доказать тождества

Дома.

6.6. Изобразить на плоскости область определения функции

6.7. Вычислить , если

6.8. Найти , если .

6.9. Доказать тождество

 

Ответы.

6.1. 6.2.

 

6.6.

6.6.

Занятие 2.

Производная сложной функции. Производная неявно заданной функции.

Производная по направлению. Градиент

6.10. Найти :

6.11. Найти :

6.12. Найти :

6.13. Дано: Найти .

6.14. Дано: . Найти при условии .

6.15. Найти производную функции в точке по направлению к .

6.16. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси .

6.17. Найти градиент и наибольшую скорость возрастания функции в точке .

6.18. В какой точке градиент функции коллинеарен вектору ?

 

Дома.

6.19. а) –? –?

6.20. Функция задана уравнением . Найти при .

6.21. Найти производную функции в точке по направлению вектора , где

6.22. Найти градиент и наибольшую скорость возрастания функции в точке

Ответы.

Занятие 3.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Локальный и глобальный экстремумы

Локальный экстремум. Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке .

6.23. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

6.24. Составить уравнение плоскости, касательной к поверхности , параллельную плоскости .

6.25. Исследовать на экстремум функцию .

6.26. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом треугольнике, ограниченном осями координат и прямой .

Дома.

6.27. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

6.28. Исследовать на экстремум функцию .

6.29. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом прямоугольнике: .

Ответы.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Занятие 1.