Понижение степени уравнения

Практическая часть

Главной задачей при решении тригонометрических уравнений является приведение уравнение к такому виду, чтобы слева у вас была элементарная тригонометрическая функция, а справа число. Всё, что остаётся сделать, - это найти значение аргумента функции (х) используя формулу выражения аргумента через обратные тригонометрические функции.
Чаще всего для этого, надо попытаться:

1. привести все функции входящие в уравнение к «од инаковым углам»;

2. привести уравнение к «одинаковым функциям»;
3. разложить левую часть уравнения на множители и т.п.

Метод замены переменной

Рассмотрим примеры решения тригонометрических уравнений, которые после введения нового неизвестного t = f(x), где f(x) – одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные или рациональные уравнения с неизвестным t.

Схема решения:

Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.

Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t).

Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.

Шаг 4. Сделать обратную замену.

Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.
Пример 1

Введём новое неизвестное cosx = t, тогда уравнение (1) превратится в квадратное уравнение с неизвестным t: их исходного уравнения это уравнение

2) не получается

Решив уравнение (2), мы получим два корня и .
Не стоит забывать об области определения тригонометрических функций, косинус не может принять значение -2, следовательно, мы продолжим работу с корнем

Множество решений уравнения (1) есть множество решения уравнения
Решая это простейшее тригонометрическое уравнение, находим, что множество всех решений уравнения (1) состоит из двух серий решений:
; .

Пример 2

3) .

Заменим sin x на t и получим распадающееся уравнение:

Имеющее два решения и .

Множество всех решений уравнения (3) есть объединение множество всех решений двух уравнений:

= 0,5 и sin x = -1

Решая эти простейшие тригонометрическое уравнение, находим, что множество всех решений уравнения (3) состоит из трех серий решений:
; ; .

Метод разложения на множители

Если уравнение f (х) = 0 удается преобразовать к виду , то решение данного уравнения сводится к решению уравнений
Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются с помощью разложения левой части на множители.
Пример 1

Используя формулу для синуса двойного аргумента, запишем уравнение в виде :

Вынося общий множитель sinx за скобки, получаем:
2)

Уравнение 2 распадается на два уравнения:

Решая эти простейшие тригонометрическое уравнение, находим, что множество всех решений уравнения 1 состоит из трех серий решений:
; ;

Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений

В этом пункте на примерах показано применение некоторых тригонометрических формул при решении уравнений.

1.Применение основного тригонометрического тождества.
Решим уравнение:

1) =2

Применяя основное тригонометрическое тождество , :
2)

Введем новое неизвестное sin x = t, получим квадратное уравнение с неизвестным t:

3) + 3t – 2 = 0

Уравнение 3 имеет два корня и .
Множество решений уравнения 2, а значит и уравнения 1 есть множество решений уравнений:

-2 и sin x = .

Первое уравнение не имеет решений, следовательно все решения уравнения 1 состоят из множества решений второго уравнения, которое имеет две серии решений:
; .

2. Применение формул сложения

Решим уравнение:

Перенеся все члены уравнения в левую часть, и применив формулу синуса разности двух углов

получим:

Решения уравнения 2 и уравнения 1 удовлетворяют условию:

, откуда следует одна серия решений:
.

3. Понижение кратности углов

Иногда при решении тригонометрических уравнений бывает удобно синусы и косинусы кратных углов выражать через синусы и косинусы самих этих углов.
Решим уравнение:

x = 1

Используя формулу синуса двойного угла, перепишем уравнение в виде:
Применив основное тригонометрическое тождество, перепишем это уравнение в виде:

Уравнение 2, а значит и уравнение 1 имеет две серии решений:

; .

Понижение степени уравнения

Если в уравнении есть синус или косинус в четной степени, то, используя для этого формулы понижения степени и выражая квадраты синуса и квадраты косинуса половинного угла, можно понизить степень уравнения.

sin² x = 1/2(1 – cos 2x);

cos² x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg² x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Решим уравнение:

Используя формулу для квадрата косинуса из списка выше, перепишем уравнение:
Приведя к общему знаменателю и сложив подобные члены получим:
3)

Уравнение имеет две серии корней:
;

5. Введение вспомогательного угла

Решим уравнение:

Поделив уравнение на 2, получим:

Замечаем: ; = sin , - это и есть наш дополнительный угол, перепишем уравнение 2:

Используя формулу косинуса суммы, получим:

Уравнение имеет две серии корней
;

6. Преобразование произведения в сумму

Известно, что любая математическая формула на практике применяется как справа налево, так и слева направо. В тригонометрии мы можем преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение и наоборот, используя формулы:

;

cos a ;

sin a

Решим уравнение:

Используя формулу произведения синусов, перепишем его как:
2) cos8x=0

7. Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка – это формулы для выражения синуса, косинуса и тангенса аргумента через тангенс половинного аргумента:
; ;