В вопросах организации обработки информации с помощью ЭВМ важное место занимают системы счисления и специальное кодирование чисел.
Совокупность приемов наименования и записи чисел называют счислением. Под системой счисления понимают изображение чисел в определенных символах, положение символов в числах и правила выполнения арифметических действий над этими числами. Счисление представляет собой частный случай кодирования, где слово, записанное с помощью определенного алфавита и по определенным правилам, называется кодом. Применительно к счислению это код числа.
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.
Непозиционными системами счисления являются такие системы счисления, в которых каждый символ (цифра, буква, знак и т.д.) сохраняет свое значение независимо от места положения его в числе. Значение каждой цифры (символа) постоянно. Характерным представителем непозиционных систем является римская система счисления со сложными способом записи чисел и громоздкими правилами выполнения арифметических операций.
Например, запись MCMXCVIII означает, что записано число 1998 (М – тысяча, С – сто, Х – десять, V – пять и т.д.)
Позиционные системы счисления обладают большими преимуществами в наглядности представления чисел и в простоте арифметических операций. В позиционной системе счисления значение цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа, например числа 1998 и 9819.
Позиционной является, например, десятичная система счисления, используемая в повседневной жизни.
Количество цифр и символов, которые используют для записи числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления (р). Например, в десятичной системе счисления 10 цифр: (0,1,2,3, 4,5,6, 7,8,9); р = 10.
База системы счисления – это последовательность цифр и символов, которые используют для записи любого числа. Например, в десятичной системе счисления база –0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
В системе счисления нет цифры, равной основанию данной системы: О < = а < р
Основание позиционной системы счисления определяет название системы.
Если р = 1, то системы быть не может, так как база содержит
только 0.
Если р = 2, то система двоичная. База содержит две цифры: 0 и 1. Если р = 3, то система троичная. База содержит три цифры: 0,1 и 2.
Если р = 8,то система восьмеричная. База содержит восемь цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7.
Если р = 16, то система шестнадцатеричная. База содержит 16 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е= 14, F= 15.
В настоящее время арифметические действия выполняются большей частью в десятичной системе счисления, которая имеет основание р = 10, а в базе –цифры от 0 до 9.
При обработке информации используются двоичная и восьмеричная системы счисления. Они сокращают длину записи при кодировании программы и экономно размещают данные в памяти машины.
Для ЭВМ наиболее пригодна двоичная система счисления, при применении которой достигаются простота конструкции и компактность арифметического устройства.
Двоичная система счисления позволяет использовать аппарат математической логики. Однако эта система счисления имеет ряд недостатков: значительное увеличение разрядности для изображения числа, громоздкое представление двоичными числами кодов операций, необходимость перевода для обработки чисел из десятичной системы в двоичную, а после обработки –из двоичной системы в десятичную.
Для упрощения работы программистов используются системы счисления, которые, с одной стороны, относительно малозначны, а с другой – кратны основанию двоичной системы. К таким системам счисления относятся восьмеричная и шестнадцатеричная, при которых обеспечивается полное использование памяти.
Восьмеричная система счисления имеет основание р = 8 и базу, состоящую из цифр от 0 до 7. Каждая цифра числа в восьмеричной системе счисления может быть переведена в двоичную независимо от других разрядов. Связь двоичной и восьмеричной систем счисления можно продемонстрировать следующей формулой:
8=2-2 -1.
У шестнадцатеричной системы счисления основание р = 16, а база включает цифры от 0 до 9 и латинские буквы A,B,C,D,E,F. Шестнадцатеричная система счисления широко применяется в ЭВМ с байтовой системой организации памяти.