Теоретический материал:
Свойства степени с действительным показателем.
Для любых действительных 
, 
и произвольных 
, 
имеют
место следующие равенства.
a1 = a;
a0 = 1 (при a не равном нулю).
Пример 1: Вычислить:
= 2 
= 
= 
= 6 
= 
= 
= 
= 
= 
Пример 2. Решить уравнение: а) х1/3 = 4; б) 
Решение: а) Возведем обе части уравнения в третью степень 
3=43, 
х=64. Ответ: х=64
б) Сначала сложим показатели степени при основании х, имеем 
. Получили уравнение 
, Представим 16, как 
. Получим 
, возведем обе части уравнения в 7 степень и получим 
Отсюда следует, что х=4. Ответ: х=4
Практическая часть:
1 вариант
1. Установите соответствие:
| При умножении степеней с равными основаниями | Основания умножаются, а показатель остаётся прежним |
| При делении степеней с равными основаниями | Основания делятся, а показатель остаётся прежним |
| При возведении степени в степень | Основание остаётся прежним, а показатели умножаются |
| При умножении степеней с равными показателями | Основание остаётся прежним, а показатели вычитаются |
| При делении степеней с равными показателями | Основание остаётся прежним, а показатели складываются |
2. а) Вычислите: а) 
: 
; б) 
3. Упростите выражение 
: 
и найдите его значение при х = 2.
4. Решив уравнения и составив слово1234567, используя дешифратор, вы узнаете имя этого ученого, который положил начало буквенных записей степени.
| Л | Т | Н | Р | Ш | О | Ь | И | Е | Ф | К | А | Д |
| 9/4 | -2 | 4/9 | 5/3 | 1/3 |
1. Х1/3=4
- у-1=3/5
- а1/2= 2/3
- х-0,5 х1,5 = 1
- у1/3 =2
- а2/7а12/7 = 25
- а1/2: а = 1/3.
5. Вычислить: 
+ 
+ (60)5 
2 – 3–4 
27
2 вариант
1. Установите соответствие:
| При умножении степеней с равными основаниями | Основания умножаются, а показатель остаётся прежним |
| При делении степеней с равными основаниями | Основания делятся, а показатель остаётся прежним |
| При возведении степени в степень | Основание остаётся прежним, а показатели умножаются |
| При умножении степеней с равными показателями | Основание остаётся прежним, а показатели вычитаются |
| При делении степеней с равными показателями | Основание остаётся прежним, а показатели складываются |
2. а) Вычислите: а) 
3. Чему равно значение выражения 
при а = 
.
4. Решив уравнения и составив слово1234567, используя дешифратор, вы узнаете имя этого ученого, который ввел название показатель.
| Л | Т | Н | Р | Ш | О | Ь | И | Е | Ф | К | А | Д |
| 9/4 | -2 | 4/9 | 5/3 | 1/3 |
1. -81/3
- 811/2
- (3/5)-1
- (5/7)0
- 27-1/3
- (2/3)-2
- 161/2 * 1251/3.
5. Вычислить: 
– 
– 32 2– 4 
+ (30)4 4.
3 вариант
1. Установите соответствие:
| При умножении степеней с равными основаниями | Основания умножаются, а показатель остаётся прежним |
| При делении степеней с равными основаниями | Основания делятся, а показатель остаётся прежним |
| При возведении степени в степень | Основание остаётся прежним, а показатели умножаются |
| При умножении степеней с равными показателями | Основание остаётся прежним, а показатели вычитаются |
| При делении степеней с равными показателями | Основание остаётся прежним, а показатели складываются |
2. а) Вычислите: а) 0,3 
; б) 
3. Сократите дробь: 
.
4. Решив уравнения и составив слово 123451, используя дешифратор, вы узнаете имя этого ученого, который дал определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем.
| Л | Т | Н | Р | Ш | О | Ь | И | Е | Ф | К | А | Ю |
| 9\4 | -2 | 4\9 | 5\3 | 1\3 |
1. а2\7а12\7 = 25
2. (х-12)1\3 =2
3. х-0,7 х3,7 = 8
4. а1\2: а = 1\3
5. а1\2= 2\3
5. Вычислить: 
.
4 вариант
1. Установите соответствие:
| При умножении степеней с равными основаниями | Основания умножаются, а показатель остаётся прежним |
| При делении степеней с равными основаниями | Основания делятся, а показатель остаётся прежним |
| При возведении степени в степень | Основание остаётся прежним, а показатели умножаются |
| При умножении степеней с равными показателями | Основание остаётся прежним, а показатели вычитаются |
| При делении степеней с равными показателями | Основание остаётся прежним, а показатели складываются |
2. а) Вычислите: а) 
; б) 
.
3. Сократите дробь: 
.
4. Выполнив это задание и составив слово 123456, используя дешифратор узнаете фамилию этого математика, который ввел современную запись степени.
| Л | Т | Н | Р | Ш | О | И | Е | Ф | К | А | Д | Ю |
| 9\4 | -2 | 4\9 | 5\3 | 1\3 |
1. Х1/3=4
- у-1= 3
- (х+6)1/2 = 3
- у1/3 =2
- (у-3)1/3=2
- а1/2: а = 1/3
5. Упростить выражение: 
Контрольные вопросы:
1. В чем сходство и различие степени с целым показателем и степени с дробным показателем?
2. Всегда ли можно вычислить точное значение степени с дробным показателем?
3. Запишите свойства степени с действительным показателем.