Векторные функции скалярного аргумента

Если каждому значению скалярного аргумента t поставить в соответствие вектор r (t), то r (t)называется векторной функцией (вектор - функцией)скалярного аргумента t.

Рис. 3.11

Если начало вектора r (t) (радиус-вектора) поместить в постоянную точку О, то конец радиус-вектора r (t)опишет пространственную кривую, которую называют годографом векторной функции (см. рис. 3.11).

Если t означает время, то r (t)описывает траекторию движения материальной точки. Если r (t)разложить по базисным векторам i, j, k прямоугольной декартовой системы координат, то

,

причем компоненты x (t), y (t), z (t)являются функциями от t. Параметрическое представление пространственной кривой (годографа) или траектории движения имеет вид

x = x (t), y = y (t), z = z (t).

Предел и непрерывность

Если ( - базис)-после­довательность векторов, то вектор называется предельным вектором этой последовательности (обозначается ),

если .

Вектор называется преде­лом векторной функции при (обозначается ) если .Это равнозначно тому, что В частности, r (t)назы­вается непрерывной в точке t₀, если , что эквивалентно непрерывности компонент в точке t₀.

 

Дифференцирование векторной функции

Если существует предел

,

то называется производной от r (t)в точке t. (cм. Рис. 3. 12)

 

 

 

Рис. 3.12.

 

В другой записи: r' (t)или . В декартовой системе координат:

Вектор r' (t)имеет направле­ние касательной к годогра­фу в точке t и направлен в сторону, отвечающую возра­станию параметра t. Длина r '(t) зависит от выбора параметра t. Если t есть длина дуги, то .

Если t означает время, а r (t)— траекторию движения материальной точки, то r' (t) —вектор скорости, | r ' (t)| — величина скорости.

 

Правила дифференцирования

 

(множители нельзя менять местами)

 

Если r (t) — единичный вектор, то годограф лежит на единичной сфере и касательная всегда перпендикулярна радиус-вектору, т. е. .

 

Производные высших порядков

Рас­сматривая r' (t)при переменном t как векторную функцию, производную от r' (t) обозначают через , или r" (t), или . В декартовых координатах:

.

Если r (t)описывает движение материальной точки, то r" (t)— вектор ускорения, - вели­чина ускорения. Аналогично определяются третья, четвертая, п-я производные.

Разложение по формуле Тейлора имеет вид:

Это ни что иное, как векторная сумма разложений по формуле Тейлора для функций , остаточный член.

Дифференциал функции r (t) определяется формулой

 

Кривизна кривой

 

Кривизной К кривой в ее точке М называется предел отношения угла между положительными направлениями касательных в точкай М и N кривой (угол смежности) к длине дуги , когда , т.е.

, где

y

- угол между положительными направлениями касательной в точке М и оси Ох.

Радиусом кривизны R называется величина, обратная абсолютной величине кривизны, т.е.

.

Формула для вычисления кривизны в прямоугольных координатах (с точностью до знака)

имеет вид

.

В случае

.

Задача

Векторная функция задает траекторию движения точки.

1. Построить годограф векторной функции.

2. Вычислить координаты вектора скорости и ускорения в точке t=t₁.

3. Найти кривизну траектории в произвольной точке и вычислить радиус кривизны в точке t = t ₁.

Решение.

- вектор скорости

 

+

= =

= + =

 

 

Приложения производной

 

Прежде чем перейти к наиболее важным приложениям производной при исследовании функций и построении их графиков, рассмотрим несколько основных теорем.