1. Множество вещественных чисел. Функция. Область ее определения. Сложные и обратные функции.
2. Основные элементарные функции, их свойства и график.
3. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. (Единственность предела ч.п. с доказательством)
4. Критерий Коши (с доказательством). Арифметические свойства пределов. Переход к пределу в неравенстве. Существование пределов монотонной ограниченной последовательности.
5. Предел в функции в точке (по Коши, по Гейне; теорема об эквивалентности определений с доказательством) и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентные бесконечно малые. Замена переменных при вычислении предела функции (Теорема с доказательством). Свойства предела функции. Предельный переход в неравенствах. Теорема о предельном переходе с доказательством (об ограниченности одной функции другой при предельном переходе)
6. Односторонние пределы (теорема о существовании односторонних пределов с доказательством). Пределы монотонных функций. Замечательные пределы (с доказательством). Критерий Коши о существовании предела функции в т. (с доказательством)
7. Непрерывность функции в точке и на бесконечности. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функции. Непрерывность элементарных функций.
8. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация.
9. Сравнение функций. Символы о и О. Эквивалентные функции.
10. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточных значений. (Теорема Коши о существовании корня с доказательством, теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях с доказательством, теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке с доказательством, теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значении непрерывной функции на отрезке с доказательством). Теорема о сложной функции, об обратной функции.
|
|
11. Понятие о равномерной непрерывности.
12. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Теорема об ограниченности дифференцируемой функции с доказательством. Критерий дифференцируемости - существование производных, с доказательством.
13. Дифференциал функции его геометрический смысл.
14. Правила нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной функции. Теорема о существование производной сложной функции, обратной функции с доказательством.
15. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных параметрически (с доказательством). Логарифмическая производная (показать/доказать).
16. Точки экстремума функции. Теорема Ферма (с доказательством).
17. Теоремы Ролля (с доказательством), Лагранжа (с доказательством), Коши (с доказательством), их применение.
18. Правило Лопиталя (одна из теорем с доказательством).
19. Производные и дифференциалы высших порядков.
20. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа (с доказательством). Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений.
21. Условия монотонности функции, достаточное условие (с доказательством). Экстремумы функции, необходимое условие (с доказательством). Достаточные условия (для дифференцируемой функции и дважды дифференцируемой функции с доказательством). Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции, дифференцируемой на отрезке.
|
|
22. Исследование выпуклости функции. Достаточное условие выпуклости (с доказательством). Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия существования точки перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба для трижды дифференцируемой функции (с доказательством). Точка перегиба и касательная, геометрический смысл.
23. Асимптоты функции, теорема (с доказательством). Понятие об асимптотическом разложении.
Общая схема исследования функции и построение ее графика.
24. Пространство 
. Основные неравенства (с доказательством). Последовательности, необходимое и достаточное условие существования предела последовательности в (с доказательством).
Множества в :открытые, замкнутые, ограниченные, линейно связные, выпуклые. Компактность. Теорема о точке прикосновения (с доказательством). Свойства замкнутых множеств. Прямые и кривые в .
25. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции. Функции, непрерывные на компактах. Промежуточные значения непрерывных функций на линейно связных множествах.
26. Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными. Частные производные сложных функций, теорема (с доказательством). Смешанные производные, теорема о смешанных производных (с доказательством). Инвариантность формы дифференциала. Геометрический смысл частных производных и дифференциала.
27. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
28. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
29.Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
30. Производная по направлению. Градиент. Дивергенция. Ротор.