Проверка информации на выпадающие точки.

а) Грубую проверку информации на выпадающие точки проводят по «правилу трех сигм»: если крайние точки информации не выходят за пределы , то все точки информации считают дей­ствительными.

Так, в данном примере границы достоверности информации бу­дут равны:

- нижняя: t^н = 4150 - 3 ∙ 1150 мото-ч. = 700 мото-ч.;

- верхняя: t^в = 4150 + 3 ∙ 1150 мото-ч. = 7600 мото-ч.

Наименьший доремонтный ресурс двигателя 1500 мото-ч. Следовательно, эта точка информации действительна и должна быть учтена при дальнейших расчетах. Наибольший ресурс двигате­ля 7800 мото-ч. Эта точка информации выходит за верхнюю границу достоверности. Поэтому она должна быть признана недей­ствительной (выпадающей) и не учитываться в дальнейших расче­тах.

б) Более точно информацию на выпадающие точки проверяют по критерию Ирвина (l):

l_оп < l_т ,

где l_оп и l_т – опытное и теоретическое значения критерия, соответственно.

При l_оп ≤ l_т точку считают достоверной; при l._оп > l_т точку при­знают выпадающей и исключают из дальнейших расчетов.

Фактическое значение критерия определяется по формуле:

где t_i и t _i-1 любые две смежные точки информации.

Обычно проверку делают для крайних точек сводного ряда информации и резко различающихся друг от друга смежных точек.

В тех случаях, когда после проверки исключают выпадающие точки информации, необходимо заново перестроить статистичес­кий ряд и пересчитать среднее значение и среднее квадратическое отклонение показателя надежности.

Проверим крайние точки информации о доремонтных ресурсах двигателя:

- для наименьшей точки информации l_оп1=(1870 - 1500)/1150=0,32.

- для наибольшей точки информации l_оп70=(7800 - 5970)/1150=1,59.

По приложению 1 / 3, стр. 757/ находим, что при повторности информации N = 70 и доверительной вероятности b = 0,95 теоретическое значение критерия Ирвина равно l_т = 1,05. Следовательно, первую точку информации следует признать достоверной, последнюю точку - выпадающей.

Учитывая, что последняя точка информации выпала, в данном примере после соответствующих пересчетов будем иметь N = 69, = 4084 мото-ч., = 988 мото-ч. Также изменится и вид статистического ряда (см. таблицу 3).

 

Таблица 3 Статистический ряд после исключения выпавшей точки

Показатели	Интервалы
Границы интервалов, тыс. мото-ч.	1,5... 2,2	2,2... 2,9	2,9... 3,6	3,6... 4,3	4,3... 5,0	5,0... 5,7	5,7... 6,4
Опытные частоты, тi		1,5	15,5
Опытные вероятности, Pi	0,06	0,02	0,22	0,28	0,28	0,07	0,07
Накопленные опытные вероятности, SPi	0,06	0,08	0,30	0,58	0,86	0,93	1,00

 

5) Выполнение графического изображения опытного распреде­ления показателя надежности. По данным статистического ряда строят гистограмму, полигон и кривую накопленных опытных вероятностей, которые дают наглядное представление об опытном распределении показателя надежности и позволяют ре­шать ряд инженерных задач графическими способами (см. рисунок 1).

6) Определение коэффициента вариации. Коэффициент вариации, характеризующий рассеивание показателя надежности, определяется как:

где t_см - смещение рассеивания показателя надежности, т.е. расстояние от начала ко­ординат до начала рассеивания случайной величины.

 

Рисунок 1 Графическое изображение опытного распределения

Смещение рассеивания рассчитывают по уравнениям:

- при отсутствии статистического ряда: t_см = t₁ - (t₃-t₁)/2,

- при наличии статистического ряда: t_см = t_н1 - 0,5 Dt,

где t₁ и t₃ - первая и третья опытные точки, t_н1 - начало первого интервала статистического ряда.

 

В нашем случае: t_см = 1500 - 0,5 ∙ 700 = 1150 мото-ч.

Коэффициент вариации: V = 988 / (4084 - 1150) = 0,34.

7) Выбор теоретического закона распределения для выравнива­ния опытной информации. Для выравнивания распределений показателей надежности наиболее широко используют закон нормального распределения (ЗНР) и закон рас­пределения Вейбулла (ЗРВ).

В первом приближении теоретический закон распределения вы­бирают по коэффициенту вариации.

При V < 0,33 выбирают ЗНР, при V > 0,50 - ЗРВ. Если значение коэффициента вариации нахо­дится в интервале 0,33...0,50, то выбирают тот закон распределения, который дает лучшее совпадение с распределением опыт­ной информации.

В нашем случае 0,33 < V < 0,5, поэтому рассмотрим оба закона.

а) Использование для выравнивания распределения опытной инфор­мации закона нормального распределения. Теоретические законы рас­пределения характеризуются дифференциальной (функцией плот­ностей вероятностей) и интегральной (функцией распределения) функциями. Отличительная особенность дифференциальной фун­кции при ЗНР - симметричное рассеивание частных значений показателей надежности относительно среднего значения.

Дифференциальная функция ЗНР описывается уравнением:

где е — основание натурального логариф­ма (е = 2,718).

Если принять = 0 и σ = 1, то получим выражение для центри­рованной и нормированной дифференциальной функции:

Значения центри­рованной и нормированной дифференциальной функции приводятся в специальных таблицах / 3, стр. 757/.

Для определения дифференциальной функции через центриро­ванную и нормированную функцию используют уравнение:

где t_сi - середина i -го интервала.

Кроме того, следует пользоваться свойством:

Например, значение дифференциальной функции в первом интервале статистического ряда:

 

Интегральная функция или функция распределения ЗНР:

При условии = 0 и σ = 1 получим центрированную и нормиро­ванную интегральную функцию, которая тоже табулирована / 3, стр. 765/.

Для определения интегральной функции F(t) через F₀ (t) приме­няют уравнение:

где t_ki - значение конца i -го интервала.

 

При этом используют также свойство:

 

 

Определим значение интегральной функции в первом интервале статистического ряда:

 

Аналогично рассчитывают значения дифференциаль­ной и интегральной функций по всем интервалам статистического ряда (см. таблицу 4).

Таблица 4 Выбор теоретического закона распределения (ТЗР)

Показатели	Номера интервалов, i	S	Р, %
Опытные данные статистического ряда	1. Начало интервала, t нi	1,5	2,2	2,9	3,6	4,3	5,0	5,7
2. Середина интервала, t сi	1,85	2,55	3,25	3,95	4,65	5,35	6,05
3. Конец интервала, t кi	2,2	2,9	3,6	4,3	5,0	5,7	6,4
4. Опытная частота, m i		1,5	15,5
Закон нормального распределения (ЗНР)	Диффер. функция	5. x= (t сi - t)/s
6. f o(x) (1)
7. f (t i)=D t · f o(x)/s	0.02	0.09	0.19	0.28	0.24	0.13	0.04
Интегр. функция	8. x =(t кi - t)/s
9. F (t i)= F (x) (2)	0.03	0.11	0.31	0.59	0.82	0.95	0.99
Критерий Пирсона	10. m тi =N(F(t i )-F(t i-1 ))
11. m i по укрупн. ряду(3)	5,5	15,5
12. m тi по укрупн. ряду	7,6	13,8	19,3	15,9	9,0	2,8
13. (m i- m тi)2/ m тi
Закон распределения Вейбулла (ЗРВ)	Диффер. функция	14. (t сi - t см)/ а (4)
15. x=f табл((t сi - t см)/ а)
16. f (t i)=D t · f табл(x)/ а	0.02	0.11	0.20	0.24	0.21	0.12	0.05
Интегр. функция	17. x =(t кi - t см)/ а
18. F (t i)= F (x)	0.03	0.13	0.33	0.58	0.81	0.95	0.99
Критерий Пирсона	19. m тi =N(F(t i )-F(t i-1 ))
20. m i по укрупн. ряду	5,5	15,5
21. m тi по укрупн. ряду	9,0	13,8	17,3	15,9	9,7	2,8
22. (m i- m тi)2/ m тi

Примечания:

1. Центрированная (нормированная) дифференциальная функция ЗНР имеет свойство: f _о(- х)= f _о(+ х)

2. Центрированная (нормированная) интегральная функция ЗНР имеет свойство: F _о(- х)=1- F _о(+ х)

3. Условия укрупнения ряда (объединения интервалов): m _тi³5; i >4.

4. Смещение рассеивания: t _см= t _н1-0,5×D t, если t _см < 0, то принимается t _см = 0.

 

б) Использование для выравнивания распределения опытной инфор­мации закона распределения Вейбулла. Дифференциальную функ­цию или функцию плотности вероятностей определяют при законе распределения Вейбулла по уравнению:

где а и b - параметры масштаба и формы ЗРВ, соответственно.

Параметр формы b определяют по специальным таблицам / 3, стр. 765/ в зависимости от коэффициента вариации. Из этой же таблицы выбираются коэффициенты К_в и С_в.

Для нашего случая при V = 0,34: b = 3.2, К_в = 0,90 и С_в = 0,31.

Параметр масштаба а рассчитывают по одному из уравнений:

a =( - t_см) / К_в или a = s / С_в .

 

В нашем случае: а = (4084 - 1150) / 0,90 = 3260 мото-ч.

 

Дифференциальную функцию ЗРВ можно определить и с помощью специальных таблиц / 3, стр. 766/. При этом используют уравнение:

где t_см - смещение.

 

Найдем дифференциальную функцию в первом интервале ста­тистического ряда:

Интегральная функция или функция распределения закона Вейбулла описывается формулой:

Интегральную функцию ЗРВ также можно определить с помощью специальных таблиц / 3, стр. 766/. При этом используют уравнение:

где t_ki — значение конца i - гo интервала.

Например, интегральная функция в первом интервале статисти­ческого ряда:

Аналогично определяются значения дифференциальной и интег­ральной функций в остальных интервалах статистического ряда (см. таблицу 4).

8) Оценка совпадения опытного и теоретического законов распре­деления показателей надежности по критерию согласия. При обработке информации по показателям надежности наиболее часто применяется критерий со­гласия Пирсона (χ²), определяемый по уравнению:

где n_y - число укрупненных интервалов; m_i — опытная час­тота в i - ом интервале статистического ряда; m_Ti - теоретическая частота в i - ом ин­тервале.

Теоретическая частота определяется как:

m_Ti = N [ F(t _i) - F(t _{i - 1})],

где N — число точек информации; F(t _i) и F(t _{i - 1}) - значения интегральной функции для i - го и (i -1) - го интервалов статистического ряда.

 

Для определения χ² строят укрупненный статистический ряд, соблюдая условие: n_y > 4, m_i ³ 5. При этом допускается объединение соседних интервалов, в которых m_i < 5.

В нашем случае m₁ = 4 и m₂ = 1,5, по­этому первый и второй интервалы статистического ряда следует объединить. Опытная частота в объединенном интервале будет равна сумме частот объединяемых интервалов. В остальных интервалах статис­тического ряда опытные частоты больше пяти, поэтому эти интер­валы оставляем без изменения (см. таблицу 4).

Определим значения критерия согласия Пирсона. При законе нормального распределения:

При законе распределения Вейбулла:

Для дальнейших расчетов выбирают тот закон распределения, у которого меньше значение критерия Пирсона. В нашем примере, применительно к доремонтным ресурсам двигателя, более приемлемым является за­кон нормального распределения.

Кроме того, пользуясь критерием согласия χ², по специальной таблице можно определить вероятность совпадения (Р, %) опытных и теоретичес­ких распределений / 3, стр. 768 /. Для входа в таблицу определяем номер строки (число степеней свободы):

R = n_y – K,

где n_у - число интервалов в укрупненном статистическом ряду;

К - число обяза­тельных связей.

 

Для рассматриваемых законов распределения число обязательных связей равно трем: две связи – два параметра распределения (для ЗНР - и б, для ЗРВ – a и b) и третья связь ∑Р = 1.

Таким образом, в нашем случае R = 6 – 3 = 3. По третьей строке таблицы определяем, что вероят­ность совпадения для ЗНР составляет около 18 %, а для ЗРВ - менее 10 %.

9) Определение доверительных границ рассеивания одиночного и среднего значений показателя надежности. Площадь под дифференциальной кривой, ограниченная осью абсцисс и доверительными границами характеризует сте­пень доверия расчета и гарантирует заданную вероятность попадания показателя надежности в соответствующий интервал его значе­ний. Поэтому ее называют доверительной вероятностью.

Интервал, в который при за­данной доверительной вероят­ности ß попадает 100 % общего числа объектов совокупности N, называют доверительным ин­тервалом I_ß. Границы, в которых может колебаться значение одиночно­го показателя надежности при заданной ß, называют нижней t_ß^н и верхней t_ß^в доверительны­ми границами.

Положение доверительных границ и доверительный интер­вал зависят от доверительной вероятности и закона распределения одиночного или среднего значения показателя надежности.

а) Определение доверительных границ рассеивания при законе нор­мального распределения. Для определения доверительных границ рассеивания одиночного значения показателя надежности при ЗНР вначале находят абсолютную ошибку:

е_ß = t_ß σ,

где t_ß - коэффициент Стьюдента.

Нижняя доверительная граница:

t_ß^н = - t_ß σ

 

Верхняя доверительная граница:

t_ß^в = + t_ß σ,

Доверительный интервал:

I_ß = t_ß^в - t_ß^н

 

Для нашего примера ко­эффициент Стьюдента при ß = 0,90: t_ß = 1,67. Тогда:

- нижняя доверительная граница: t_ß^н = 4084 -1,67 ∙ 988 = 2434 мото-ч.;

- верхняя доверительная граница: t_ß^в = 4084 + 1,67 ∙ 988 = 5734 мото-ч.;

- доверительный интервал: I_ß = 5734 - 2434 = 3300 мото-ч.

Расчетная схема и физический смысл доверительных границ среднего значения показателя надежности те же, что и для одиноч­ного показателя. Разница заключается в значении среднего квадратического отклонения.

Среднее квадратическое отклонение рассеивания среднего зна­чения показателя надежности:

где N - число точек информации, по которому определено среднее значение пока­зателя надежности.

Нижняя доверительная граница среднего значения показателя надежности:

Верхняя доверительная граница среднего значения показателя надежности:

Доверительный интервал среднего значения показателя надеж­ности:

I_ß = t_ß^в - t_ß^н

Для приведенного примера по обработке информации по ресур­су двигателя получаем (коэффициент Стьюдента t_ß = 1,67):

- нижняя доверительная граница: t_др^н = 3885 мото-ч.;

- верхняя доверительная граница: t_др^в = 4283 мото-ч.;

- доверительный интервал: I_ß = 4283 - 3885 = 398 мото-ч.

б) Определение доверительных границ при законе распределения Вей­булла. Доверительные границы рассеивания одиночного значения показателя надежности при ЗРВ определяют по уравнениям:

где H_к^в - квантиль закона распределения Вейбулла / 3, стр. 769 /.

 

Доверительный интервал: I_ß = t_ß^в - t_ß^н

Для рассматриваемого примера при доверительной вероятности b = 0,90:

- нижняя доверительная граница: t_др^н = H^в_к ((1 - 0,90) / 2) ∙ 3260 + 1150 = 0,39 ∙ 3260 + 1150 = 2421 мото-ч.;

- верхняя доверительная граница: t_др^в = H^в_к ((1 + 0,90) / 2) ∙ 3260 + 1150 = 1,41 ∙ 3260 + 1150 = 5747 мото-ч.;

- доверительный интервал: I_ß = 5747 - 2421 = 3326 мото-ч.

Доверительные границы рассеивания среднего значения показа­теля надежности при ЗРВ определяют по уравнениям:

где r₁ и r₃ - коэффициенты распределения Вейбулла /3, стр. 768/, зависящие от доверительной вероятности b и повторности информации N.

Доверительный интервал среднего значения показателя надеж­ности:

I_ß = t_ß^в - t_ß^н

 

Для нашего случая (r₁ = 1,23; r₃ = 0,83):

 

10) Определение абсолютной и относительной предельных оши­бок оценок характеристик показателя надежности. Наибольшая абсолютная ошибка переноса опытных характеристик показателя надежности при заданной доверительной вероятности равна по значению е_β в обе стороны от среднего значения показателя надеж­ности.

Относительная предельная ошибка:

Для нашего примера при законе нормального распределения: δ_β = [(4283 - 4084) / 4084] ∙ 100 = 4,9 %.

 

11) Построение графиков дифференциальной и интегральной функций для исследуемого показателя надежности по выбранному закону распределения. По значениям f(t) и F(t) выбранного закона распределения могут быть пост­роены графики дифференциальной и интегральной функций. Дифференциальная кривая заменяет поли­гон опытного распределения, а интегральная - кривую накопленных опыт­ных вероятностей (см. рисунок 2). Эти графики в дальнейшем можно использовать при решении прикладных задач.

Например, по интегральной функции можно определить число отказавших двигателей не только в интервалах статистичес­кого ряда, но и в любом требуемом интервале наработки.

Допустим, необходимо определить число двигателей, отказавших в ин­тервале наработки 4300...4850 мото-ч. Для этого необходимо по графику интегральной функции определить значения F(t) в начале и в конце этого интервала и их разницу умножить на общее число двигателей:

Тогда

N_от.дв. = F (4300…4850) ∙ N = 0, 19 ∙ 69 = 13 двигателей.

Рисунок 2 Графики дифференциальной и интегральной функции распределения доремонтных ресурсов двигателя согласно выбранному закону распределения (ЗНР)

 

4 Порядок выполнения работы

4.1 Выполнить пункты 2.1 и 2.2 задания по работе.

4.2 Выполнить обработку опытной информации по индивидуальному заданию.

4.3 Оформить отчет по работе.

4.4 Подготовить ответы на контрольные вопросы.

 

5 Контрольные вопросы

5.1 Назовите основные виды испытаний машин на надежность.

5.2 В чем заключается цель сбора и обработки информации о надежности машин?

5.3 Перечислите задачи, решаемые на основе сбора и обработки информации о надежности машин.

5.4 Из каких источников собирается информация о надежности машин?

5.5 Каким требованиям должна соответствовать информация о надежности машин?

5.6 Зачем при определении показателей надежности машин используются методы статистической обработки данных?

5.7 Как составляется статистический ряд информации?

5.8 В чем заключается первичная обработка опытной информации по показателям надежности машин?

5.9 Как определяются выпадающие точки при первичной обработке опытной информации?

5.10 Каков порядок выбора теоретического закона распределения для выравнивания опытных данных?

 

6 Требования к отчету по работе

Отчет по работе должен содержать:

- название, цель и задачи работы;

- исходные данные по индивидуальному заданию;

- все расчеты, таблицы и графики по индивидуальному заданию.