а) Грубую проверку информации на выпадающие точки проводят по «правилу трех сигм»: если крайние точки информации не выходят за пределы , то все точки информации считают действительными.
Так, в данном примере границы достоверности информации будут равны:
- нижняя: tн = 4150 - 3 ∙ 1150 мото-ч. = 700 мото-ч.;
- верхняя: tв = 4150 + 3 ∙ 1150 мото-ч. = 7600 мото-ч.
Наименьший доремонтный ресурс двигателя 1500 мото-ч. Следовательно, эта точка информации действительна и должна быть учтена при дальнейших расчетах. Наибольший ресурс двигателя 7800 мото-ч. Эта точка информации выходит за верхнюю границу достоверности. Поэтому она должна быть признана недействительной (выпадающей) и не учитываться в дальнейших расчетах.
б) Более точно информацию на выпадающие точки проверяют по критерию Ирвина (l):
lоп < lт ,
где lоп и lт – опытное и теоретическое значения критерия, соответственно.
При lоп ≤ lт точку считают достоверной; при l.оп > lт точку признают выпадающей и исключают из дальнейших расчетов.
Фактическое значение критерия определяется по формуле:
где ti и t i-1 любые две смежные точки информации.
Обычно проверку делают для крайних точек сводного ряда информации и резко различающихся друг от друга смежных точек.
В тех случаях, когда после проверки исключают выпадающие точки информации, необходимо заново перестроить статистический ряд и пересчитать среднее значение и среднее квадратическое отклонение показателя надежности.
Проверим крайние точки информации о доремонтных ресурсах двигателя:
- для наименьшей точки информации lоп1=(1870 - 1500)/1150=0,32.
- для наибольшей точки информации lоп70=(7800 - 5970)/1150=1,59.
По приложению 1 / 3, стр. 757/ находим, что при повторности информации N = 70 и доверительной вероятности b = 0,95 теоретическое значение критерия Ирвина равно lт = 1,05. Следовательно, первую точку информации следует признать достоверной, последнюю точку - выпадающей.
Учитывая, что последняя точка информации выпала, в данном примере после соответствующих пересчетов будем иметь N = 69, = 4084 мото-ч.,
= 988 мото-ч. Также изменится и вид статистического ряда (см. таблицу 3).
Таблица 3 Статистический ряд после исключения выпавшей точки
Показатели | Интервалы | ||||||
Границы интервалов, тыс. мото-ч. | 1,5... 2,2 | 2,2... 2,9 | 2,9... 3,6 | 3,6... 4,3 | 4,3... 5,0 | 5,0... 5,7 | 5,7... 6,4 |
Опытные частоты, тi | 1,5 | 15,5 | |||||
Опытные вероятности, Pi | 0,06 | 0,02 | 0,22 | 0,28 | 0,28 | 0,07 | 0,07 |
Накопленные опытные вероятности, SPi | 0,06 | 0,08 | 0,30 | 0,58 | 0,86 | 0,93 | 1,00 |
5) Выполнение графического изображения опытного распределения показателя надежности. По данным статистического ряда строят гистограмму, полигон и кривую накопленных опытных вероятностей, которые дают наглядное представление об опытном распределении показателя надежности и позволяют решать ряд инженерных задач графическими способами (см. рисунок 1).
6) Определение коэффициента вариации. Коэффициент вариации, характеризующий рассеивание показателя надежности, определяется как:
где tсм - смещение рассеивания показателя надежности, т.е. расстояние от начала координат до начала рассеивания случайной величины.
Рисунок 1 Графическое изображение опытного распределения
Смещение рассеивания рассчитывают по уравнениям:
- при отсутствии статистического ряда: tсм = t1 - (t3-t1)/2,
- при наличии статистического ряда: tсм = tн1 - 0,5 Dt,
где t1 и t3 - первая и третья опытные точки, tн1 - начало первого интервала статистического ряда.
В нашем случае: tсм = 1500 - 0,5 ∙ 700 = 1150 мото-ч.
Коэффициент вариации: V = 988 / (4084 - 1150) = 0,34.
7) Выбор теоретического закона распределения для выравнивания опытной информации. Для выравнивания распределений показателей надежности наиболее широко используют закон нормального распределения (ЗНР) и закон распределения Вейбулла (ЗРВ).
В первом приближении теоретический закон распределения выбирают по коэффициенту вариации.
При V < 0,33 выбирают ЗНР, при V > 0,50 - ЗРВ. Если значение коэффициента вариации находится в интервале 0,33...0,50, то выбирают тот закон распределения, который дает лучшее совпадение с распределением опытной информации.
В нашем случае 0,33 < V < 0,5, поэтому рассмотрим оба закона.
а) Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения. Теоретические законы распределения характеризуются дифференциальной (функцией плотностей вероятностей) и интегральной (функцией распределения) функциями. Отличительная особенность дифференциальной функции при ЗНР - симметричное рассеивание частных значений показателей надежности относительно среднего значения.
Дифференциальная функция ЗНР описывается уравнением:
где е — основание натурального логарифма (е = 2,718).
Если принять = 0 и σ = 1, то получим выражение для центрированной и нормированной дифференциальной функции:
Значения центрированной и нормированной дифференциальной функции приводятся в специальных таблицах / 3, стр. 757/.
Для определения дифференциальной функции через центрированную и нормированную функцию используют уравнение:
где tсi - середина i -го интервала.
Кроме того, следует пользоваться свойством:
Например, значение дифференциальной функции в первом интервале статистического ряда:
Интегральная функция или функция распределения ЗНР:
При условии = 0 и σ = 1 получим центрированную и нормированную интегральную функцию, которая тоже табулирована / 3, стр. 765/.
Для определения интегральной функции F(t) через F0 (t) применяют уравнение:
где tki - значение конца i -го интервала.
При этом используют также свойство:
Определим значение интегральной функции в первом интервале статистического ряда:
Аналогично рассчитывают значения дифференциальной и интегральной функций по всем интервалам статистического ряда (см. таблицу 4).
Таблица 4 Выбор теоретического закона распределения (ТЗР)
Показатели | Номера интервалов, i | S | Р, % | ||||||||
Опытные данные статистического ряда | 1. Начало интервала, t нi | 1,5 | 2,2 | 2,9 | 3,6 | 4,3 | 5,0 | 5,7 | |||
2. Середина интервала, t сi | 1,85 | 2,55 | 3,25 | 3,95 | 4,65 | 5,35 | 6,05 | ||||
3. Конец интервала, t кi | 2,2 | 2,9 | 3,6 | 4,3 | 5,0 | 5,7 | 6,4 | ||||
4. Опытная частота, m i | 1,5 | 15,5 | |||||||||
Закон нормального распределения (ЗНР) | Диффер. функция | ![]() | |||||||||
6. f o(x) (1) | |||||||||||
7. f (t i)=D t · f o(x)/s | 0.02 | 0.09 | 0.19 | 0.28 | 0.24 | 0.13 | 0.04 | ||||
Интегр. функция | ![]() | ||||||||||
9. F (t i)= F (x) (2) | 0.03 | 0.11 | 0.31 | 0.59 | 0.82 | 0.95 | 0.99 | ||||
Критерий Пирсона | 10. m тi =N(F(t i )-F(t i-1 )) | ||||||||||
11. m i по укрупн. ряду(3) | 5,5 | 15,5 | |||||||||
12. m тi по укрупн. ряду | 7,6 | 13,8 | 19,3 | 15,9 | 9,0 | 2,8 | |||||
13. (m i- m тi)2/ m тi | |||||||||||
Закон распределения Вейбулла (ЗРВ) | Диффер. функция | 14. (t сi - t см)/ а (4) | |||||||||
15. x=f табл((t сi - t см)/ а) | |||||||||||
16. f (t i)=D t · f табл(x)/ а | 0.02 | 0.11 | 0.20 | 0.24 | 0.21 | 0.12 | 0.05 | ||||
Интегр. функция | 17. x =(t кi - t см)/ а | ||||||||||
18. F (t i)= F (x) | 0.03 | 0.13 | 0.33 | 0.58 | 0.81 | 0.95 | 0.99 | ||||
Критерий Пирсона | 19. m тi =N(F(t i )-F(t i-1 )) | ||||||||||
20. m i по укрупн. ряду | 5,5 | 15,5 | |||||||||
21. m тi по укрупн. ряду | 9,0 | 13,8 | 17,3 | 15,9 | 9,7 | 2,8 | |||||
22. (m i- m тi)2/ m тi |
Примечания:
1. Центрированная (нормированная) дифференциальная функция ЗНР имеет свойство: f о(- х)= f о(+ х)
2. Центрированная (нормированная) интегральная функция ЗНР имеет свойство: F о(- х)=1- F о(+ х)
3. Условия укрупнения ряда (объединения интервалов): m тi³5; i >4.
4. Смещение рассеивания: t см= t н1-0,5×D t, если t см < 0, то принимается t см = 0.
б) Использование для выравнивания распределения опытной информации закона распределения Вейбулла. Дифференциальную функцию или функцию плотности вероятностей определяют при законе распределения Вейбулла по уравнению:
где а и b - параметры масштаба и формы ЗРВ, соответственно.
Параметр формы b определяют по специальным таблицам / 3, стр. 765/ в зависимости от коэффициента вариации. Из этой же таблицы выбираются коэффициенты Кв и Св.
Для нашего случая при V = 0,34: b = 3.2, Кв = 0,90 и Св = 0,31.
Параметр масштаба а рассчитывают по одному из уравнений:
a =( - tсм) / Кв или a = s / Св .
В нашем случае: а = (4084 - 1150) / 0,90 = 3260 мото-ч.
Дифференциальную функцию ЗРВ можно определить и с помощью специальных таблиц / 3, стр. 766/. При этом используют уравнение:
где tсм - смещение.
Найдем дифференциальную функцию в первом интервале статистического ряда:
Интегральная функция или функция распределения закона Вейбулла описывается формулой:
Интегральную функцию ЗРВ также можно определить с помощью специальных таблиц / 3, стр. 766/. При этом используют уравнение:
где tki — значение конца i - гo интервала.
Например, интегральная функция в первом интервале статистического ряда:
Аналогично определяются значения дифференциальной и интегральной функций в остальных интервалах статистического ряда (см. таблицу 4).
8) Оценка совпадения опытного и теоретического законов распределения показателей надежности по критерию согласия. При обработке информации по показателям надежности наиболее часто применяется критерий согласия Пирсона (χ2), определяемый по уравнению:
где ny - число укрупненных интервалов; mi — опытная частота в i - ом интервале статистического ряда; mTi - теоретическая частота в i - ом интервале.
Теоретическая частота определяется как:
mTi = N [ F(t i) - F(t i - 1)],
где N — число точек информации; F(t i) и F(t i - 1) - значения интегральной функции для i - го и (i -1) - го интервалов статистического ряда.
Для определения χ2 строят укрупненный статистический ряд, соблюдая условие: ny > 4, mi ³ 5. При этом допускается объединение соседних интервалов, в которых mi < 5.
В нашем случае m1 = 4 и m2 = 1,5, поэтому первый и второй интервалы статистического ряда следует объединить. Опытная частота в объединенном интервале будет равна сумме частот объединяемых интервалов. В остальных интервалах статистического ряда опытные частоты больше пяти, поэтому эти интервалы оставляем без изменения (см. таблицу 4).
Определим значения критерия согласия Пирсона. При законе нормального распределения:
При законе распределения Вейбулла:
Для дальнейших расчетов выбирают тот закон распределения, у которого меньше значение критерия Пирсона. В нашем примере, применительно к доремонтным ресурсам двигателя, более приемлемым является закон нормального распределения.
Кроме того, пользуясь критерием согласия χ2, по специальной таблице можно определить вероятность совпадения (Р, %) опытных и теоретических распределений / 3, стр. 768 /. Для входа в таблицу определяем номер строки (число степеней свободы):
R = ny – K,
где nу - число интервалов в укрупненном статистическом ряду;
К - число обязательных связей.
Для рассматриваемых законов распределения число обязательных связей равно трем: две связи – два параметра распределения (для ЗНР - и б, для ЗРВ – a и b) и третья связь ∑Р = 1.
Таким образом, в нашем случае R = 6 – 3 = 3. По третьей строке таблицы определяем, что вероятность совпадения для ЗНР составляет около 18 %, а для ЗРВ - менее 10 %.
9) Определение доверительных границ рассеивания одиночного и среднего значений показателя надежности. Площадь под дифференциальной кривой, ограниченная осью абсцисс и доверительными границами характеризует степень доверия расчета и гарантирует заданную вероятность попадания показателя надежности в соответствующий интервал его значений. Поэтому ее называют доверительной вероятностью.
Интервал, в который при заданной доверительной вероятности ß попадает 100 % общего числа объектов совокупности N, называют доверительным интервалом Iß. Границы, в которых может колебаться значение одиночного показателя надежности при заданной ß, называют нижней tßн и верхней tßв доверительными границами.
Положение доверительных границ и доверительный интервал зависят от доверительной вероятности и закона распределения одиночного или среднего значения показателя надежности.
а) Определение доверительных границ рассеивания при законе нормального распределения. Для определения доверительных границ рассеивания одиночного значения показателя надежности при ЗНР вначале находят абсолютную ошибку:
еß = tß σ,
где tß - коэффициент Стьюдента.
Нижняя доверительная граница:
tßн = - tß σ
Верхняя доверительная граница:
tßв = + tß σ,
Доверительный интервал:
Iß = tßв - tßн
Для нашего примера коэффициент Стьюдента при ß = 0,90: tß = 1,67. Тогда:
- нижняя доверительная граница: tßн = 4084 -1,67 ∙ 988 = 2434 мото-ч.;
- верхняя доверительная граница: tßв = 4084 + 1,67 ∙ 988 = 5734 мото-ч.;
- доверительный интервал: Iß = 5734 - 2434 = 3300 мото-ч.
Расчетная схема и физический смысл доверительных границ среднего значения показателя надежности те же, что и для одиночного показателя. Разница заключается в значении среднего квадратического отклонения.
Среднее квадратическое отклонение рассеивания среднего значения показателя надежности:
где N - число точек информации, по которому определено среднее значение показателя надежности.
Нижняя доверительная граница среднего значения показателя надежности:
Верхняя доверительная граница среднего значения показателя надежности:
Доверительный интервал среднего значения показателя надежности:
Iß = tßв - tßн
Для приведенного примера по обработке информации по ресурсу двигателя получаем (коэффициент Стьюдента tß = 1,67):
- нижняя доверительная граница: tдрн = 3885 мото-ч.;
- верхняя доверительная граница: tдрв = 4283 мото-ч.;
- доверительный интервал: Iß = 4283 - 3885 = 398 мото-ч.
б) Определение доверительных границ при законе распределения Вейбулла. Доверительные границы рассеивания одиночного значения показателя надежности при ЗРВ определяют по уравнениям:
где Hкв - квантиль закона распределения Вейбулла / 3, стр. 769 /.
Доверительный интервал: Iß = tßв - tßн
Для рассматриваемого примера при доверительной вероятности b = 0,90:
- нижняя доверительная граница: tдрн = Hвк ((1 - 0,90) / 2) ∙ 3260 + 1150 = 0,39 ∙ 3260 + 1150 = 2421 мото-ч.;
- верхняя доверительная граница: tдрв = Hвк ((1 + 0,90) / 2) ∙ 3260 + 1150 = 1,41 ∙ 3260 + 1150 = 5747 мото-ч.;
- доверительный интервал: Iß = 5747 - 2421 = 3326 мото-ч.
Доверительные границы рассеивания среднего значения показателя надежности при ЗРВ определяют по уравнениям:
где r1 и r3 - коэффициенты распределения Вейбулла /3, стр. 768/, зависящие от доверительной вероятности b и повторности информации N.
Доверительный интервал среднего значения показателя надежности:
Iß = tßв - tßн
Для нашего случая (r1 = 1,23; r3 = 0,83):
10) Определение абсолютной и относительной предельных ошибок оценок характеристик показателя надежности. Наибольшая абсолютная ошибка переноса опытных характеристик показателя надежности при заданной доверительной вероятности равна по значению еβ в обе стороны от среднего значения показателя надежности.
Относительная предельная ошибка:
Для нашего примера при законе нормального распределения: δβ = [(4283 - 4084) / 4084] ∙ 100 = 4,9 %.
11) Построение графиков дифференциальной и интегральной функций для исследуемого показателя надежности по выбранному закону распределения. По значениям f(t) и F(t) выбранного закона распределения могут быть построены графики дифференциальной и интегральной функций. Дифференциальная кривая заменяет полигон опытного распределения, а интегральная - кривую накопленных опытных вероятностей (см. рисунок 2). Эти графики в дальнейшем можно использовать при решении прикладных задач.
Например, по интегральной функции можно определить число отказавших двигателей не только в интервалах статистического ряда, но и в любом требуемом интервале наработки.
Допустим, необходимо определить число двигателей, отказавших в интервале наработки 4300...4850 мото-ч. Для этого необходимо по графику интегральной функции определить значения F(t) в начале и в конце этого интервала и их разницу умножить на общее число двигателей:
Тогда
Nот.дв. = F (4300…4850) ∙ N = 0, 19 ∙ 69 = 13 двигателей.
Рисунок 2 Графики дифференциальной и интегральной функции распределения доремонтных ресурсов двигателя согласно выбранному закону распределения (ЗНР)
4 Порядок выполнения работы
4.1 Выполнить пункты 2.1 и 2.2 задания по работе.
4.2 Выполнить обработку опытной информации по индивидуальному заданию.
4.3 Оформить отчет по работе.
4.4 Подготовить ответы на контрольные вопросы.
5 Контрольные вопросы
5.1 Назовите основные виды испытаний машин на надежность.
5.2 В чем заключается цель сбора и обработки информации о надежности машин?
5.3 Перечислите задачи, решаемые на основе сбора и обработки информации о надежности машин.
5.4 Из каких источников собирается информация о надежности машин?
5.5 Каким требованиям должна соответствовать информация о надежности машин?
5.6 Зачем при определении показателей надежности машин используются методы статистической обработки данных?
5.7 Как составляется статистический ряд информации?
5.8 В чем заключается первичная обработка опытной информации по показателям надежности машин?
5.9 Как определяются выпадающие точки при первичной обработке опытной информации?
5.10 Каков порядок выбора теоретического закона распределения для выравнивания опытных данных?
6 Требования к отчету по работе
Отчет по работе должен содержать:
- название, цель и задачи работы;
- исходные данные по индивидуальному заданию;
- все расчеты, таблицы и графики по индивидуальному заданию.