Время свободного падения
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Переход к навигацииПереход к поиску
Время свободного падения-это характерное время, которое потребовалось бы телу для коллапса под действием собственного гравитационного притяжения, если бы не существовало других сил, противостоящих коллапсу. Как таковой, он играет фундаментальную роль в определении временных рамок для широкого спектра астрофизических процессов—от звездообразования до гелиосейсмологии и сверхновых,—в которых гравитация играет доминирующую роль.
Содержание
- 1Вывод
- 1.1Безошибочно к точечному источнику гравитации
- 1.2Вывод о сферически-симметричном распределении массы
- 2Приложения
- 3Сравнение
- 4Рекомендации
Вывод[править]
Безошибочно к точечному источнику гравитации[править]
Относительно просто получить время свободного падения, применив Третий закон движения планет Кеплера к вырожденной эллиптической орбите. Рассмотрим точечную массу {\displaystyle m}на расстоянии {\displaystyle R}от точечного источника массы{\displaystyle M}, который падает радиально внутрь нее. Важно отметить, что Третий закон Кеплера зависит только от полуоси орбиты и не зависит от эксцентриситета. Чисто радиальная траектория является примером вырожденного эллипса с эксцентриситетом 1 и полуосью {\displaystyle R/2}. Следовательно, время, необходимое телу, чтобы упасть внутрь, развернуться и вернуться в исходное положение, совпадает с периодом круговой орбиты радиуса{\displaystyle R/2}, или
{\displaystyle t_{\text{orbit}}={\frac {2\pi }{\sqrt {G(M+m)}}}\left({\frac {R}{2}}\right)^{3/2}={\frac {\pi R^{3/2}}{\sqrt {2G(M+m)}}}.}
Чтобы увидеть, что такое полуось{\displaystyle R/2}, мы должны изучить свойства орбит по мере того, как они становятся все более эллиптическими. Первый закон Кеплера гласит, что орбита-это эллипс с центром масс в качестве одного фокуса. В случае очень малой массы, падающей на очень большую массу{\displaystyle M}, центр масс находится внутри большей массы. Фокус эллипса все больше смещается от центра с увеличением эллиптичности. В предельном случае вырожденного эллипса с эксцентриситетом 1 орбита простирается от начального положения падающего объекта ({\displaystyle R}) до точечного источника массы {\displaystyle M}. Другими словами, эллипс становится линией длины {\displaystyle R}. Полуосновная ось равна половине ширины эллипса вдоль длинной оси, которая в вырожденном случае становится {\displaystyle R/2}.
Если бы свободно падающее тело завершило полную орбиту, оно началось бы на расстоянии {\displaystyle R}от массы точечного источника {\displaystyle M}, падало бы внутрь, пока не достигло бы этого точечного источника, затем развернулось бы и вернулось в исходное положение. В реальных системах масса точечного источника на самом деле не является точечным источником, и падающее тело в конечном итоге сталкивается с какой-либо поверхностью. Таким образом, он завершает только половину орбиты. Но поскольку нижняя часть орбиты симметрична гипотетической исходящей части орбиты, мы можем просто разделить период полной орбиты на два, чтобы достичь времени свободного падения (время вдоль нижней части орбиты).
{\displaystyle t_{\text{ff}}=t_{\text{orbit}}/2={\frac {\pi }{2}}{\frac {R^{3/2}}{\sqrt {2G(M+m)}}}}
Эта формула также вытекает из формулы для времени падения в зависимости от положения.
Обратите внимание, что {\displaystyle t_{\text{orbit}}}в приведенном выше уравнении время, за которое масса должна упасть на сильно эксцентричную орбиту, сделать поворот "шпилькой" в центральной массе на расстоянии почти нулевого радиуса, а затем вернуться к R, когда она повторит очень резкий поворот. Эта орбита соответствует почти линейному движению назад и с расстояния R на расстояние 0. Как отмечалось выше, эта орбита имеет только половину длины полуоси (R/2), как и круговая орбита с радиусом R (где полуосью является R), и, следовательно, период для более короткой "орбиты с высоким эксцентриситетом" равен периоду для орбиты с осьюR/2 и общая длина орбитального пути всего в два раза превышает безошибочное расстояние. Таким образом, с третьим законом Кеплера, с половину большой полуоси радиусе таким образом, принимает только (1/2)3/2 = (1/8)1/2 длительный период времени, как "корреспондент" круговая орбита, которая имеет постоянный радиус такой же, как максимальный радиус эксцентрической орбиты (которая идет, по существу, нулевым радиусом от основного на ее другую крайность).
Время прохождения половины расстояния R, которое является безошибочным временем от R по эксцентричной орбите, является временем Кеплера для круговой орбиты R/2 (не R), что составляет (1/32)1/2 периода P круговой орбиты в R. Например, время, в течение которого объект, находящийся на орбите Земли вокруг Солнца, должен упасть на Солнце, если бы он внезапно остановился на орбите, было бы{\displaystyle P/{\sqrt {32}}}, где P-один год. Это примерно 64,6 дня.
Вывод о сферически-симметричном распределении массы[править]
Теперь рассмотрим случай, когда масса {\displaystyle M}не является точечной массой, а распределена в сферически-симметричном распределении вокруг центра со средней плотностью массы{\displaystyle \rho },
{\displaystyle \rho ={\frac {3M}{4\pi R^{3}}}},
где объем сферы равен:{\displaystyle {(4/3)\pi R^{3}}.}
Давайте предположим, что единственная действующая сила-это гравитация. Затем, как впервые продемонстрировал Ньютон и может быть легко продемонстрировано с помощью теоремы о дивергенции, ускорение силы тяжести на любом заданном расстоянии {\displaystyle R}от центра сферы зависит только от общей массы, содержащейся внутри {\displaystyle R}. Следствием этого результата является то, что если представить себе разбиение сферы на ряд концентрических оболочек, то каждая оболочка разрушится только после того, как оболочки окажутся внутри нее, и никакие оболочки не пересекутся во время коллапса. В результате время свободного падения безмассовой частицы at {\displaystyle R}может быть выражено исключительно в терминах общей массы{\displaystyle M}, находящейся внутри нее. С точки зрения средней плотности внутри {\displaystyle R}, время свободного падения составляет[1]
{\displaystyle t_{\text{ff}}={\sqrt {\frac {3\pi }{32G\rho }}}\simeq 0.5427{\frac {1}{\sqrt {G\rho }}}\simeq 66430\,{\frac {1}{\sqrt {\rho }}}}