Синтез при заданной структуре системы.

В этом случае задача синтеза формулируется следующим образом. Заданы: статистические характеристики полезного сигнала и помехи, например спектральные плотности S_g(w) и S_f(w); структура системы и ее передаточная функция W(p) = W(p, b₁, b₂,..., b_n), где b_i — параметры системы.

Требуется найти оптимальные параметры системы b_1опт, b_2опт ... b_nопт при которых обеспечивается минимум средней квадратичес­кой ошибки.

Эта задача решается следующим образом: зная спектральные плотности S_g(w) и S_f(w) и передаточную функцию системы, опре­деляют спектральную плотность ошибки S_e(w), а затем, пользуясь табличными интегралами, находят аналитическое выражение среднего значения квадрата ошибки e², которое получается зависящим от пара­метров системы:

(14.6)

Дифференцируя (14.6) по bi, где (i=1, 2,..., n) и приравнивая нулю частные производные, находят п уравнений, из которых опре­деляют оптимальные параметры системы b_1опт, b_2опт,... b_nопт, обеспечивающие минимум средней квадратической ошибки.

Как правило, большинство параметров системы изменять трудно либо невозможно, так как они определяются заданными техническими или конструктивными соображениями. Поэтому обычно варьируют два-три параметра, например постоянные времени корректирующих звеньев, коэффициент усиления разомкнутой системы и др. Если число переменных п невелико, то отыскание экстремума функции не вызывает затруднений. При большом числе п, когда явное выражение среднего значения квадрата ошибки через параметры системы определить затруд­нительно, либо оно слишком громоздко, используют приближенные ме­тоды отыскания минимума выражения (14.3.6) путем числового задания интересующих параметров и построения соответствующих графиков.

Параметры системы, выбранные по критерию минимума средней квадратической ошибки, оценивают затем исходя из возможности их технической реализации и допустимых динамических показателей сис­темы (времени регулирования, наличия и величины перерегулирования и т. д.).

Заметим, что указанная выше методика выбора оптимальных параметров системы может применяться и при одновременном воздействии на систему регулярных и случайных сигналов.

Пример 4. Условия задачи такие же, как в примере 1. Требуется опре­делить оптимальное значение коэффициента усиления разомкнутой системы К _опт, соответствующее минимуму средней квадратической ошибки, и вычислить среднюю квадратическую ошибку при К=К _опт.

Ранее в примере 1. было получено выражение для среднего значения квад­рата ошибки

(14.7)

Для исследования на минимум средней квадратической ошибки необходимо приравнять нулю производную от этого выражения по коэффициентуусиления разомкнутой системы. В результате получаем

(14.8)

Из последнего уравнения определяем оптимальное значение коэффициента усиления разомкнутой системы:

(14.9)

Подставляя численные значения параметров, получаем

(14.10)

Подставляя K_опт в выражение для среднего значенияквадрата ошибки, получаем

(14.11)

Средняя квадратическая ошибка, соответствующая K_опт

(14.12)

Пример 5. Условия задачи такие же, как и в примере 3. Требуется определить оптимальное значение коэффициента усиления разомкнутой системы K_опт и вычислить среднюю квадратическую ошибку при К=К _опт

Ранее (в примере 3) было получено выражение для среднего значения квад­рата ошибки

(14.13)

Приравниваем нулю производную от этого выражения по коэффициенту усиления разомкнутой системы:

(14.14)

Из последнего выражения определяем

(14.15)

Подставляя численные значения параметров, получаем

(14.16)

Среднее значение квадрата ошибки, соответствующее K_опт

(14.17)

Средняя квадратическая ошибка

(14.18)

Графики изменения

(14.19)

в функции коэффициента усиления разомкнутой системы приведены на рис.14.2.