КУРСОВАЯ РАБОТА
Выполнила:
студентка 4 курса
очной формы обучения
Кузнецова Ирина Алексеевна
Руководитель:
Кирин Николай Александрович
Итоговая оценка - ______________
Подпись______________________
Коломна – 2019 г.
Содержание
Введение. 2
1. Методические аспекты обучения учащихся использованию дополнительных построений в геометрических задачах. 4
2. Применение метода дополнительных построений при решении практических задач 17
Заключение. 29
Список используемой литературы.. 31
Введение
Математика занимает одно из центральных мест в общеобразовательной системе. Эта роль определяется огромным количеством математических идей и результатов, накопленных человечеством за тысячи лет развития, постоянно расширяющимся спектром применения математики в различных аспектах человеческой жизни и деятельности и несомненным влиянием математики на образование из самых важных личных качеств. Вклад математики в индивидуальное развитие личности огромен, особенно в таких областях, как точность и ясность мышления, воля и решительность в поиске и принятии решений, интеллект, интуиция, развитие пространственных концепций, способность ориентироваться в новых ситуациях, творческая активность и самостоятельность, умение воспринимать красоту и гармонию мира.
С абсолютной уверенностью можно сказать, что из всех математических дисциплин именно геометрия наиболее способствует развитию интуиции и воображения и, следовательно, способствует творческому развитию личности, поскольку интуиция и воображение являются основой любого творчества. Хорошее геометрическое образование, пространственное воображение и логическое мышление являются необходимыми атрибутами не только математики, но и инженера, экономиста, дизайнера, юриста, программиста, а также специалистов других специальностей.
Следует отметить, что первым и наиболее важным этапом в решении геометрической задачи является построение истинного визуального рисунка в соответствии с условием этой задачи. Умение строить грамотный рисунок, помогающий решить задачу, является важнейшим элементом геометрической культуры.
Некоторые планиметрические задачи традиционными методами (метод цепочек равных треугольников, метод геометрических преобразований, векторный метод и др.) либо вовсе не решаются, либо имеют сложные и громоздкие решения. Во многих случаях дополнительные построения помогают решить ряд проблем при решении задач, после чего связи между искомыми величинами становятся более ощутимыми или даже очевидными.
Важным требование к чертежу есть простота и лаконичность. Учащийся должен научиться избегать изображать лишние элементы, и руководствоваться лишь необходимыми, «функционирующимися» элементами при решении данной задачи части геометрической фигуры.
Владеть геометрией это значит уметь решать геометрические задачи. Ведь, уже известно, что мыслительные процессы у человека протекают в форме образов, поэтому в геометрической задаче первостепенную роль играет чертёж, являющийся средством создания геометрического образа по словесному описанию.
Методические аспекты обучения учащихся использованию дополнительных построений в геометрических задачах
В методической литературе процесс решения геометрических задач, начинается с построение чертежа. Учителям хорошо известно, что визуализация информации, содержащейся в условии геометрической задачи, зачастую играет определяющую роль в процессе ее решения. Чертеж, выполненный верно, значительно упрощает работу для решения ключевых соотношений между искомыми элементами задачи. Во многих психологических и методических публикациях описаны роль и функции различных видов чертежей, методы обучения с помощью готовых чертежей, созданы целые системы упражнений на развитие образов.
На сегодняшний день, зачастую учитель, в целях экономии времени на уроке старается сразу показать учащимся изображение с уже готовыми ключевыми соотношениями, связывающие данные и искомое. Таким образом, предполагается, что умение строить чертеж, является копированием уже увиденного, что ведет к основным затруднениям учащихся при решении задач на комбинации стереометрических тел, как правило, предлагающихся в качестве задания типа №14 Единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике профильного уровня. Обусловлено это тем, что экзаменующийся не может представить или изобразить нужные комбинации. Данное положение может привести к тому, что огромная масса, целое поколение, может быть неспособной к продуктивной конструктивно-геометрической деятельности.
Следует отметить, что для продуктивной работы по решению геометрических задач, необходимо, чтобы школьный кабинет математики по своей оснащенности ничем не уступал кабинетам физики, химии и биологии. К сожалению, это условие выполняется далеко не всегда и нередко вся наглядность, которую видит на уроке геометрии нынешний старшеклассник, сводится к рассмотрению готовых статичных чертежей на страницах учебника и на классной доске.
Научно доказано, что в восприятии пространственной формы и величины предметов, расстояний до них участвуют врожденная способность нервных клеток головного мозга избирательно реагировать на изображения, возникающие на сетчатке глаза. А также полученный человеком опыт в результате движения глаз и рук по контуру и поверхности предметов и перемещений тела и его частей в пространстве. Отсюда следует сделать вывод, что никакие динамические компьютерные демонстрации геометрических тел на экране монитора, который является плоским, и даже интерактивные модели не могут заменить в обучении геометрии использования реальных моделей из бумаги, пластика или металла. Следует отметить, что уже готовые мультимедийные демонстрации значительно уменьшают познавательную самостоятельность учащихся, так как не побуждает к активному пространственному мышлению.
Учитывая прогресс в информационных технологиях, можем утверждать, что число мультимедийных ресурсов учебного назначения по геометрии и их разнообразие будут только увеличиваться. А учитывая, что главной задачей педагога является так же идти в ногу со временем, ведь жизнь не стоит на месте, мы не можем игнорировать инновации в образовании. Компьютер уже внес радикальные изменения в профессиональную деятельность конструкторов, инженеров, дизайнеров. И соответствующая подготовка должна начинаться уже на уровне младшего школьника. Поэтому одной из задач молодого грамотного педагога заново переосмыслить весь накопленный методический опыт в области обучения геометрии. Важно понять, что в условиях использования мультимедийных технологий в этом опыте инвариантно, что может быть легко трансформировано, а что действительно следует радикально менять.
При решении геометрических задач продуктивные идеи и гипотезы обычно возникают в форме наглядного образа, а в ходе их проверки оперирование с образами и вербально-логическое оперирование со знаками и символами тесно переплетаются между собой. Поэтому, чтобы найти ответы на поставленные вопросы, нужно сначала понять, как происходит становление и дальнейшее функционирование этого образно-вербального диалога.
Психологи выделяют три основные формы действий: материальную, внешне речевую и умственную. Умственная форма действия, о которой пока идет речь, – это оперирование образами восприятий,представлений и воображения или понятиями, производимыми «про себя», вовнутреннем плане. Считают, что внутренний образно-вербальный диалог,т. е. непрерывно совершающийся перевод с языка образов (первичных, вторичных, производных от мышления) на вербальный язык и обратно, – определяющая характеристика мыслительного процесса. При этом степень понятности мысли как результата мыслительного процесса и мера понятности каждой из фаз движения от вопроса к ответу определяются степенью обратимости перевода с одного языка на другой и мерой его инвариантности.
Перейдем к непосредственным компонентам умственной деятельности в области геометрии, к конструктивному компоненту.
Конструктивный элемент считается одним из частей интеллектуальной работы в сфере геометрии, к которым принадлежат интуитивный, пространственный, логический, метрический и символический. Формирование данного элемента совершается в ходе постановления вопросов в прогнозирование, доконструирование, переконструирование, деконструирование и реконструирование.
Дадим характеристику вышеперечисленным типам задач:
1. Задачи на моделирование. Продукт деятельности известен, он установлен отображением, чертежом или моделью. Целью выполнения таких задач является изображение соответствующего геометрического образа, лично учащимся.
2. Задачи на конструирование, к ним принадлежат классические задачи на построение с помощью циркуля и линейки.
3. Задачи на доконструирование, для их решения требуются дополнительные построения. С их помощью образуется новая геометрическая фигура, свойства которой помогает учащимся решить задачу.
4. Задачи на переконструирование. К ним относятся задачи с заменой неизвестной геометрической фигуры другой, более простой фигурой, имеющей те же свойства
5. Задачи на деконструирование. Для решения таких задач на сложном рисунке вычленяется более простая геометрическая фигура при «игнорировании» оставшихся геометрических объектов.
6. Задачи на реконструирование, или на восстановление геометрической фигуры, по некоторым ее элементам.
С изображения геометрической фигуры, данной условием задачи, наступает процесс заключения. Учитель обязан сделать обстоятельства для формирования у учащихся соответственного конструктивного умения, связанного с претворением в жизнь аналитико-синтетической работы. При данном условии чертеж или же набросок обязан быть таким, чтобы возможно было увидать нужные связи между отдельными геометрическими элементами, фигурами. Довольно нередко при заключении задачи для возведения чертежа потребуется некоторое количество попыток, например как нужно принимать во внимание все особенности данных геометрических образов. Важную роль в процессе формирования конструктивных умений играют практические поручения, помогающие ученикам осмыслить процесс становления множества геометрических мнений. Ярким примером такового явления считается «треугольник». В случае если в начале исследования курса планиметрии треугольник считается одной из простых геометрических фигур, состоящей из 3-х точек и 3-х отрезков, то к концу исследования курса треугольник – это одно из наиглавнейших понятий всего курса геометрии, заполненное роскошным содержанием, связанное со всеми разделами школьного курса геометрии в целом.
Вспомним также, что обычно происходит при решении рассматриваемых задач на практике. Выполнение сложного стереометрического чертежа требует от ученика больших усилий и временных затрат, навыков выполнять чертеж «от руки» и пр. После нескольких безуспешных попыток сделать чертеж к задаче ряд учеников вовсе отказываются от ее решения; другие упорно, но столь же безуспешно пытаются решить задачу на первом, обычно неверном или не являющемся наглядным, чертеже. Поэтому учитель, экономя время урока, сразу, без тщательной подготовки процесса осознания, спешит дать такой готовый чертеж, на котором явно видны связи между элементами, необходимые для решения.
Кроме того, нельзя забывать о том, что имеется большое число стереометрических задач, для решения которых вовсе не требуется наличия полного проекционного чертежа. В них важно «увидеть», что можно обойтись изображением некоторого сечения рассматриваемой конфигурации (или ее проекции, например, на плоскость основания). Есть задачи, в которых правильный чертеж можно построить только тогда, когда задача уже решена. А так же, имеются задачи, где наличие полного проекционного чертежа не облегчает, а наоборот, неизмеримо усложняет поиск решения; например задачи на доказательство некоторых векторных соотношений. Опыт узнавания этих задач, «видения» нужных сечений и проекций можно приобрести только в результате многочисленных самостоятельных попыток выполнения чертежей к подобным задачам.
Таким образом, наблюдения за поиском учащимися решения трудных и нестандартных геометрических задач убедительно свидетельствуют о том, что формирование оперативного образа условий и требований задачи и дальнейшее выполнение чертежа представлены не только процессами реализации тех или иных содержаний сознания (целей, образов), но и процессами самоорганизации. Если в первом случае сознание должно быть понято как опережающее деятельность, то во втором, наоборот, – как производное от деятельности. При этом как на этапе построения чертежа, так и на этапе поиска идеи решения задачи внутренний диалог образного и вербально-логического языков мышления опосредствуется во внешнем плане и во многом благодаря этому опосредствованию существует.
Основные направления, учитывая подходы к изучению дополнительны построений:
1) Обучение открытия приемов решения задач и организация исследовательской деятельности при осуществлении поиска дополнительных построений.
2) Использование различных дополнительных построений, связанных с данной фигурой.
3) Использование дополнительных построений определённого вида при решении конкретных геометрических задач.
4) использование дополнительных построений (плоскостных чертежей и сечений) при решении стереометрических задач.
Среди работ первого направления можно выделить работы, в которых авторы предлагают методику формирования приемов «анализ» и «синтез» при изучении различных тем курса математики средней школы. По мнению указанных авторов, часто встречаются задачи, при решении которых простой анализ свойств, установленных для фигур, попадающих под элементы задачи, не приводит к решению. Вот тогда вводятся «дополнительные элементы», а для этого, как правило, выполняются «дополнительные построения».
К следующим направлениям можно сопоставить работы Т. А. Ивановой, И. Ф. Шарыгина, в которых авторы приводят цикл задач, обучающих различным приемам дополнительных построений, связанных с трапецией. Например, Т. И. Иванова выделяет следующие, наиболее часто встречающиеся построения: проведение высот трапеции; проведение через одну из вершин трапеции отрезка, параллельного одной из боковых сторон или одной из диагоналей; построение точки пересечения прямых, содержащих боковые стороны; проведение через середину одного из оснований отрезков, параллельных боковым сторонам.
Третье направление исследований характеризуется разрозненностью результатов, т.к. используемые авторами дополнительные построения в этом случае являются не столько объектом изучения, сколько методом изучения геометрических фактов. В качестве примера можно привести работы. Например, в работе Е. Ф. Даниловой, отмечается, что при отыскании пути решения иногда значительную роль играют вспомогательные построения, т. е. такие построения, относительно которых в условии задачи нет явных указаний, о целесообразности и необходимости которых учащийся должен догадываться.. Практически нет исследований, посвященных методике обучения учащихся построению планиметрических чертежей, позволяющих решать стереометрические задачи. В научно-методической литературе в основном встречаются исследования, посвященные построению сечений при решении стереометрических задач.
Практические задания, иллюстрирующие развитие содержания теоретического материала, должны предлагаться детям с учетом уровня развития познавательного интереса. Для учащихся с высоким уровнем развития познавательного интереса может быть предложена следующая задача.
Задача 1. Изобразите две окружности с центрами О1 и О2 и радиусами R1 и R2 так, что R1+R2=О1О2. Точку касания окружностей обозначьте через С. Проведите общую касательную АВ, где точка А принадлежит одной окружности, а В – другой. Изобразите угол АСВ и выскажите гипотезу о величине этого угла.
 |
В результате выполнения указанных действий учащиеся получат рис. 1, который поможет сформулировать гипотезу, что угол АСВ – прямой.
 |
Для обоснования этой гипотезы необходимо привести доказательство. В процессе поиска и осуществления этого доказательства явно проявляются все компоненты умственной деятельности в области геометрии: интуитивный, пространственный, конструктивный, логический, метрический и символический. Ведущую роль играют логический и конструктивный компоненты. Последний компонент представлен конструктивными умениями по выполнению дополнительных построений, которые выступают как результат эвристической деятельности. В процессе этой деятельности возникает рис. 2, который помогает осуществить поиск способа решения поставленной задачи.
Дополнительные построения, выполняемые как в рамках первоначального чертежа, так и за его пределами, позволяют отнести данную задачу к задачам на доконструирование, а также и к задачам на переконструирование и декоструирование, так как многие геометрические объекты в ходе решения выступают в качестве элементов различных геометрических образов. Рассматривая различные геометрические фигуры, появившиеся на чертеже, ученик имеет возможность наметить несколько путей для обоснования предложенной гипотезы. Все дополнительные построения, выполняемые при решении геометрических задач, принято делить на фундаментальные (мысленные) и прикладные, связанные с конкретной задачей. В качестве фундаментального дополнительного построения может выступать вспомогательная окружность, отсутствующая в условии задачи и выполняющая двоякую роль. С одной стороны, с ее помощью вводится новое для учеников понятие геометрического места точек, а с другой – создаются условия для обучения учащихся специальному методу решения значительного круга задач, а именно «методу вспомогательной окружности».
Задача 2. При каких значениях а точки А (4; а) и В (4; -10) расположены в разных полуплоскостях относительно прямой 2х + у = 3?
Авторы данной задачи предлагают решение, основанное на графических соображениях, но учащиеся могут выполнить это задание аналитически, не прибегая к геометрической иллюстрации, а только мысленно представляя ее.. Важно понимание процесса возникновения конкретного чертежа, а не запоминание готового геометрического образа. Условия для формирования конструктивных умений учащихся могут быть созданы в процессе решения геометрических задач любых видов: на вычисление, доказательство или построение. Однако, как показывает практика, культура чертежа у современных школьников находится на очень низком уровне. В то же время содержание планиметрических задач профильного ЕГЭ по математике, требующих развернутого ответа, направлено на проверку конструктивных умений, сформированных на достаточно высоком уровне. Решение таких задач направлено на выявление всех возможных конфигураций, что связано с осуществлением учащимися аналитико-синтетической деятельности.
Выделим условия, обеспечивающие продуктивность и эффективность деятельности по построению геометрических чертежей при решении нестандартных и трудных стереометрических задач, которые традиционно выделяются в методике обучения геометрии. Будем при этом опираться на результаты психологических исследований И. С. Якиманской, где показано, что содержание и уровеньобобщенности формируемого пространственного образа зависит
1) от наглядности, на основе которой формируется образ;
2) деятельности, в которой он формируется;
3) функций образа в конкретной задаче;
4) индивидуальных особенностей субъекта, который создает образ.
В долговременной памяти учащегося должен храниться некоторый базовый набор образов моделей, которые входят в обучение в школе. Учащийся должен обладать умением «видеть» чертежи и модели, «читать» их (выделять из них геометрическое содержание), делать начертежах дополнительные построения. Для этого необходима специальная учебная деятельность с готовыми наглядными демонстрациями.
Третье условие указывает на границы применения предыдущего. Давно установлено, что чрезмерное увлечение работой с моделями может быть вредным для формирования пространственного воображения и мышления. Еще Н.М. Бескин, различая случаи, когда ученикам даются готовые модели и когда им самим поручается изготовить эти модели, писал: «Самостоятельное изготовление моделей всегда приносит пользу ученикам. Эту пользу мы видим не в созерцании готовых моделей, а в самом процессе их изготовления». Сказанное в равной мере относитсяк злоупотреблению готовыми чертежами при доказательстве теорем курса и при решении задач.
Образы, порождаемые моделью и чертежом, обладают разной степенью обобщенности: первый, хотя и представляет собой целый класс родственных фигур, – это образ конкретного единичного объекта, второй – образ изначально обобщенный, опосредствованный использованием установленных правил изображения. Для человека, не знающего теории изображений, образ чертежа столь же конкретен, как образ натуральной модели. Поэтому для осознанного построения и обоснования геометрических чертежей необходимо владеть принятыми правилами их выполнения.
Умение строить геометрический чертеж предполагает наличие у учащегося способности оперировать пространственными образами во внутреннем плане. Однако этот опыт является необходимым, но не достаточным залогом успешности деятельности по построению чертежей в незнакомых ситуациях. Выбор средств и методов обучения построению геометрических чертежей зависит от уровня притязаний учащегося и индивидуальных особенностей его пространственного мышления.
При желании этот список можно, конечно, продолжить, нас же будет интересовать то, что сформулированные требования к геометрическому опыту ученика при решении задач «с карандашом и бумагой» не утрачивают своей значимости и при использовании мультимедийных технологий. Поэтому в том же порядке вернемся к перечисленным требованиям.
1. Только при наличии в памяти учащегося базового набора образов геометрических тел и их конфигураций виртуальные компьютерные модели станут для него вполне аналогичны натуральным, а значит, их использование позволит достигать ожидаемых трехмерных эффектов.
2. Применение готовых виртуальных интерактивных моделей, позволяющих увидеть геометрическую конфигурацию с разных точек зрения, дает возможность значительно расширить виды упражнений с готовыми наглядными демонстрациями и минимизировать наборы используемых материальных моделей.
3. Регулярное применение на уроках геометрии интерактивной доски, заранее заготовленных чертежей, различных виртуальных моделей фигур и их комбинаций позволяет учителю более интенсивно использовать время урока, а учащимся значительно облегчает процесс решения знакомых и видоизмененных задач. Вместе с тем чрезмерное увлечение готовыми электронными ресурсами тоже может отрицательно сказаться на формировании пространственного мышления учащихся. Избежать этого помогут существующие стереоконструкторы, позволяющие ученику не только самостоятельно выполнять необходимые чертежи и мультипликации, но и управлять их содержанием, формой, размерами и цветом. Поэтому эти инструментальные среды дают возможность сместить акценты в геометрической подготовке школьников в сторону усиления ее моделирующего аспекта, открывают принципиально новые возможности анализа и самостоятельного эмпирического обобщения геометрического материала.
4. Продуктивная и осознанная работа со стереоконструктором не освобождает ученика от знания основ теории изображений. Напротив, уровень решаемых учащимся задач во многом определяется уровнем его теоретической подготовки.
5. Пятое условие продуктивности и эффективности деятельности по построению геометрических чертежей в незнакомых ситуациях справедливо и в отношении способности оперировать пространственными образами во внутреннем плане. Но теперь придется учитывать, что «хорошая» интерактивная модель предоставляет возможность материализовать это оперирование во внешнем плане, сделать его зримым. Более того, она значительно упрощает и «автоматизирует» умственные процессы интуитивного порождения и активного преобразования образов геометрических конфигураций. Другими словами, диалог внутреннего и внешнего планов выходит на иной, более высокий уровень. При наличии широкого набора «хороших» моделей соблазн их постоянного использования в обучении неизмеримо возрастает. Это, в свою очередь, обусловливает две серии ключевых вопросов. Первые вопросы психологические: как это скажется на развитии пространственного мышления, оперативной памяти и воображения учащихся; вторые – методические: какие интерактивные демонстрации и как следует вводить в школьное обучение геометрии, чтобы они действительно обеспечивали более эффективное развитие ученика в качестве субъекта учебно-геометрической деятельности. Достоверных и обоснованных ответов на эти вопросы сегодня не существует. Ясно одно: методически непродуманное введение интерактивных демонстраций (как это было в случае введения в обучение математике калькуляторов) может привести к необратимым ошибкам.
6. Как и при традиционном построении чертежей, выбор средств и методов обучения обусловлен уровнем притязаний учащегося и индивидуальными особенностями его пространственного мышления. Добавим лишь, что к применению различных мультимедийных демонстраций следует подходить еще более дифференцированно, чем при использовании традиционной наглядности. Внешнее опосредствование внутреннего плана деятельности в форме чертежа, рисунка, модели или схемы широко представлено в различных видахчеловеческой практики. Оно является существенной основой продуктивной деятельности конструкторов и инженеров, архитекторов и строителей, дизайнеров и модельеров и т. д. Не вызывает сомнения, что развитие способности к такому опосредствованию происходит в период школьного обучения.
В любом геометрическом понятии и факте наглядная модель, ее изображение и вербальное описание наиболее естественным и явно видимым образом сливаются в единое целое. Поэтому именно геометрия может и должна стать той дисциплиной, при изучении которой столь же естественно формируются когнитивные сети, составленные из внешних и внутренних элементов и репрезентаций, т. е. происходит явно видимое ученику становление универсальных диалоговых взаимодействий внешнего и внутреннего планов деятельности. Сказанное еще раз подчеркивает уникальность школьной геометрии как учебного предмета и таящийся в ее изучении развивающий потенциал. Отсюда также следует, что при обучении геометрии должно уделяться гораздо больше внимания работе с чертежами, чем это делается традиционно.