Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 12,15 и 21.
Дано: ΔABC: AA1, BB1, СС1 - медиана; BB1=12, AA1=15, СС1 =21
Найти: SΔABC
Решение:
Пусть М-точка пересечения медиан AA1,BB1,СС1.
Выполним дополнительные построения: а) удвоение медианы MB1 треугольника АМС:
B1K=MB1 и MK=2 MB1
б) Отрезки АК и СК
Далее рассмотрим треугольник АМСК:
B1K=MB1, AB1=CB1 (т.к. ВB1-медиана). Таким образом, в четырехугольнике диагонали делятся пополам, а значит, этот четырехугольник параллелограмм (по признаку параллелограмма). Следовательно СК=АМ= 
АА1. Медиана треугольника пересекается и точкой пересечения делится в отношении 2:1.
В ΔСМК: СК= АА1; СМ= СС1; MK=2MB1=2*(
BB1)= 
BB1
Построим треугольник PQL, таким образом, что его стороны будут равны данным медианам. PQ=BB1, QL= АА1, PL= СС1.
Получаем треугольник, в котором не выполняется теорема Пифагора, так как 212 >152+122, то есть PL2>QL2+PQ2. Более того, это означает, что ÐPQL-тупой. Найдем площадь треугольника PQL по формуле Герона, где, а=12, b=15, с=21.
p= 
= 
= 
=24
SPQL= 
= 
= 
Рассмотрим треугольники СМК и PQL, они подобны, т.к.
= 
= 
; 
= 
= ; 
= 
= ;
Отсюда следует, что k= , следовательно, отношение площадей треугольников СМК и PQL равняется k2= 
.
SΔCMK= * SΔPQL= *36 
Две фигуры называются равновеликими, если они имеют одинаковую площадь.
Рассмотри ΔCMK: CB1-медиана (по определению), следовательно, 
SΔCMB1= 
SCMK= *16 
.
Медианы разбили наш треугольник на 6 частей, отметим это на чертеже. Чтобы найти площадь треугольника АВС достаточно взять одну часть и умножить на шесть.
Значит, SΔABC=6* SΔCMB1=6* 
.=48 
Ответ: SΔABC= 48
Заметим, что данную задачу решить лишь алгебраическим путем было бы если не невозможно, то значительно труднее. Применяя дополнительные построения, мы сумели пошагово решить данную задачу.
Если в треугольнике заданы некоторая трасверсаль (отрезок прямой, проведенной через его вершину, заключенный внутри треугольника) и отрезок с концами на двух сторонах треугольника, пересекающий эту трансверсаль и не параллельный третьей стороне, то данный отрезок продолжается в обе стороны до пересечения с продолжением третьей стороны и с прямой, параллельной этой стороне и проходящей через вершину, из которой выходит трансверсаль.
Задача
В треугольнике ABC проведена высота ВВ1 и медиана СС1. Известно, что их точка пересечения О отстоит от стороны АС на расстоянии 1см. Определите АВ, если ВВ1 =6; СС1 = 5.
Дано: 
АВС, ВВ1 – высота, СС1 –медиана, ВВ1 
СС1 = О, ОВ1 = 1см, ВВ1 = 6см,
СС1 = 5см.
Найти: АВ
Решение:
Построим С1С2 ║ АС 
ВВ2 = В2В1 т.к. является С1С2 средней линией треугольника ABC и делит пополам любой отрезок соединяющий вершину B с точкой
 |
стороны AC.
Тогда, так как ОВ1 = 1, то ОВ2 = ½*BB1– OB1=2,
ОВ1С 
ОВ2С1 
= 
CC1 = 3х = 5 х = 
; ∆ ОВ1С: В1С = 
= 
; АВ1 = 4 В1С = 4 = 
∆ АВВ1: АВ = 
= 
= 
Ответ:
Если в треугольнике заданы отрезок с концами на двух сторонах треугольника и высота (медиана, биссектриса), пересекающий эту высоту (медиану, биссектрису), и не параллельный третьей стороне, то данный отрезок продолжается в обе стороны до пересечения с продолжением третьей стороны и с прямой, параллельной этой стороне и проходящей через вершину, из которой выходит высота (медиана, биссектриса).
Задача
Точки R и L лежат на боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС так, что АR = АВ; CL = 
BC. Определите, в каком отношении отрезок RL делит высоту ВВ1 треугольника АВС.
Дано: АВС, АВ = ВС, R 
АВ, L 
BC, АR = АВ; CL = BC.
Найти: 
Решение:
Построим ВR1 
АС, продолжим RL до пересечения с BR1 и АС в точках R1 и L1 
∆ ВRR1 ∆ АRL1 
= 
= == 
= ;
∆ BLK1 ∆ CLL1 
= 
= 
= 3; 
AL1 = 3 СL1 
AL1 = 6 CL1 
АС = 5 CL1 
B1C = 
AC = 
CL1;
B1L1 = 
CL1 + CL1 = 
CL1 = 
AL1 ∆ BGR1 ∆ В1GL1 
= 
= 
= 
.
Ответ: =
2. Стандартное дополнительное построение в задачах на трапецию: проводим либо два перпендикуляра к основанию и получаем прямоугольник и два прямоугольных треугольника, либо проводим отрезок, параллельно боковой стороне, и получаем параллелограмм и произвольный треугольник, либо проводим через середину меньшего основания прямые, параллельные боковым сторонам, либо продлеваем боковые стороны до пересечения. Если же в условии задачи говорится о диагоналях трапеции, то стандартным будет дополнительное построение, состоящее в проведении через одну из ее вершин прямой, параллельной диагонали.
Возьмем геометрическую фигуру - трапеция, и постараемся выделить наиболее часто используемые дополнительные построения при решении задач.
1) Опускание высот из концов одного основания на другое основание;
2) Проведение через вершины трапеции прямой, параллельной боковой стороне, не содержащей эту вершину;
3) Проведение через середину меньшего основания прямых, параллельных боковым сторонам;
4) Проведение через вершину трапеции прямой, параллельной диагонали, не содержащей эту вершину;
5) Продолжение боковых сторон до пересечения.
Дополнительное построение позволяет разбить трапецию на прямоугольник (стороны которого – одно из оснований и высота трапеций) и 2 прямоугольных треугольника (в которых один из катетов - высота трапеции, а гипотенузы - боковые стороны трапеции). Это часто позволяет произвести нужные вычисления.
Дополнительные построения встречаются по всему курсу планиметрии с 7 по 9 классы.
Задача
Постройте трапецию ABCD (BD║AD) по четырем сторонам AB=c, AD=b, BC=a, CD=d, (a<b) и найдите её высоту.
Решение:
Начертим трапецию ABCD
Проведем BB1, так что BB1║СD
Получим треугольник ABB1 с известными сторонами AB=c, BB1=CD=d, AB1=b-a.
Так, по исходным данным можно построить треугольник ABB1, на луче АB1 отложим отрезок AD=b, через точку B проведем прямую параллельную AD, и отложим на ней отрезок ВС=а (в нужную сторону). Высота h трапеции выражается из формулы S= 
для площади треугольника ABB1, где площадь треугольника предварительно вычисляется по формуле Герона.
Ответ:
h= 
, где р= 
Если в треугольнике задана медиана, то треугольник достраивается до параллелограмма с центром в основании этой медианы.
В зависимости от содержания задачи такое достраивание можно выполнять для одной, двух или даже трех медиан. При этом возможно использование не всего параллелограмма, а лишь его части.
Задача
Определить площадь треугольника, если две стороны соответственно равны 27см и 29см, медиана третьей стороны равна 26см.
Дано: ABC, AB =27 см, AC =29 см, BD= DC, AD=26 см.
Найти: S ABC
Решение:
1) Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABEC.
2) Площадь ΔABC составляет половину площади полученного параллелограмма, но и площадь ΔABE также составляет половину площади параллелограмма ABEC. Следовательно,SΔABC =SΔABE
3) AB=27 см, BE =29 см, AE =52 см. Площадь треугольника, длины сторон которого равны a,b,c, находится по формуле Герона: S= 
, где
2p =a+b+c.
4) Подставим эту формулу числовые значения длин сторон, и получим, что площадь ΔABE, как и площадь ΔABC, равна =270 см2.
Ответ: 270 см2.
Задача
В равнобедренном треугольнике с боковой стороной 8 см, проведена медиана боковой стороны. Найти основание треугольника, если медиана равна 6 см.
Дано: ΔABC, AB= BC 8 см, BE= EC, AE= 6см.
Найти: AC.
Решение. 1) достроим ΔABC до параллелограмма ABCD, центром которого является точка E.
2) АЕ=6, AD=2AE=12, AC=x.
3) AD2+BC2=2(AB2 +AC2)=122+82=2(82+x2)→ x =2 
Ответ: 2 см.
Задача
В треугольнике ABC на стороне AC взята точка M, такая, что AM= 
, а на стороне BC– точка K, такая, что BK= 
. В каком отношении отрезок BM делит отрезок AK?
Дано: ΔABC, AM= , BK= .
Найти: 
.
Решение: проведем через точку А прямую, параллельную ВС, и обозначим через L точку её пересечения с прямой ВМ. Пусть ВК= ɑ, тогда ВС=3 ɑ.
ΔAML ∼ ΔCMB, поэтому 
, отсюда, AL= 2ɑ. Далее из подобия треугольников LAN и BKN найдем 
Ответ:
Заключение
При решении геометрических задач традиционные методы иногда приводят к громоздким решениям, поэтому важной составной частью геометрических методов решения являются дополнительные построения.
Дополнительные построения используются для:
· появления новых фигур и возможность использовать формулы, свойства и теоремы, связанные с ними;
· появление подобных или равновеликих фигур;
· появление пропорциональных отрезков.
Чтобы построить геометрический чертеж учащийся должен уметь оперировать пространственными образами во внутреннем плане. Однако этот опыт является необходимым, но не достаточным залогом успешности деятельности по построению чертежей в незнакомых ситуациях. Важным компонентом формирования геометрического мышления является специальная организация диалога между внешним и внутренним планами. В зависимости от уровня притязаний учащегося и индивидуальных особенностей его пространственного мышления зависит выбор методов и средств построения. Сформулированные требования к геометрическому опыту ученика при решении задач «с карандашом и бумагой» не утрачивают своей значимости и при использовании мультимедийных технологий. Выделим основные требования к использованию дополнительных построений. Итак:
1. Только при наличии в памяти учащегося базового набора образов геометрических тел и их конфигураций виртуальные компьютерные модели станут для него вполне аналогичны исходным, а значит, их использование позволит достигать ожидаемых трехмерных эффектов.
2. Применение готовых виртуальных интерактивных моделей, позволяющих увидеть геометрическую конфигурацию с разных точек зрения, дает возможность значительно расширить виды упражнений с готовыми наглядными демонстрациями и минимизировать наборы используемых материальных моделей.
3. Регулярное применение на уроках геометрии интерактивной доски, заранее заготовленных чертежей, различных виртуальных моделей фигур и их комбинаций позволяет учителю более интенсивно использовать время урока, а учащимся значительно облегчает процесс решения знакомых и видоизмененных задач. Вместе с тем чрезмерное увлечение готовыми электронными ресурсами тоже может отрицательно сказаться на формировании пространственного мышления учащихся. Избежать этого помогут существующие стереоконструкторы, позволяющие ученику не только самостоятельно выполнять необходимые чертежи и мультипликации, но и управлять их содержанием, формой, размерами и цветом. Поэтому эти инструментальные среды дают возможность сместить акценты в геометрической подготовке школьников в сторону усиления ее моделирующего аспекта, открывают принципиально новые возможности анализа и самостоятельного эмпирического обобщения геометрического материала.
4. Продуктивная и осознанная работа со стереоконструктором не освобождает ученика от знания основ теории изображений. Напротив, уровень решаемых учащимся задач во многом определяется уровнем его теоретической подготовки.
Сказанное еще раз подчеркивает уникальность школьной геометрии как учебного предмета и таящийся в ее изучении развивающий потенциал. Пространственное видение, методы геометрических построений помогают человеку размышлять и думать глубже. Отсюда также следует, что при обучении геометрии должно уделяться гораздо больше внимания работе с чертежами, чем это делается традиционно.
Данная тема курсовой работы, помогла мне изучить глубже психологию школьника, а так же позволила понять, трудности и ошибки многих преподавателей в школе.
Список используемой литературы
Педагогическое мастерство: материалы V Mеждунар. науч. конф. (г. Москва, ноябрь 2014 г.). – М.: Буки-Веди, 2014. – vi, 130 с.
Веккер Л. М. Психика и реальность: единая теория психических процессов. М.: Смысл; Per Se, 2000. 685 с.
Гальперин П. Я. Психология как объективная наука. М.: Ин-т практической психологии; Воронеж: НПО «МОДЭК», 1998. 480 с.
Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 252с.
Полонский В.Б. и др. Учимся решать задачи по геометрии. \ В.Б. Полонский, Е.М. Рябинович, М.С. Якир. – Киев.,1996. – 253 с.
Васильев А. Александр Попов и Гульельмо Маркони //Квант. — 2000. — № 6. — С. 18-19.
Журнал теоретических и прикладных исследований. — Екатеринбург: Уральское отделение Российской академии образования. — 159 с. — ISSN 1994-85-81.