В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.
Функция вида 
, где 
называется квадратичной функцией.
В уравнении квадратичной функции:
a - старший коэффициент
b - второй коэффициент
с - свободный член.
Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции 
имеет вид:
Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками - это, так называемые "базовые точки". Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:
Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент 
, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции 
имеет вид:
Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:
Обратите внимание, что график функции симметричен графику функции относительно оси ОХ.
Итак, мы заметили:
Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.
Второй параметр для построения графика функции - значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции 
- это точки пересечения графика функции 
с осью ОХ.
Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение 
.
В случае квадратичной функции нужно решить квадратное уравнение 
.
Теперь внимание!
В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: 
, который определяет число корней квадратного уравнения.
И здесь возможны три случая:
1. Если 
,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если 
,то график функции выглядит как-то так:
2. Если 
,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так:
3. Если 
,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:
, 
Если ,то график функции выглядит примерно так:
Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.
Следующий важный параметр графика квадратичной функции - координаты вершины параболы:
Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.
И еще один параметр, полезный при построении графика функции - точка пересечения параболы с осью OY.
Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: 
.