Правильные многогранники

Геометрические тела

Введение

В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, которые называются геометрическими телами.

Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. В отличие от реальных предметов геометрические тела являются воображаемыми объектами. Наглядно геометрическое тело надо представлять себе как часть пространства, занятую материей (глина, дерево, металл,...) и ограниченную поверхностью.

Все геометрические тела делятся на многогранники и круглые тела.

 

 

Многогранники

 

Многогранник – это геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Гранями многогранника, называются многоугольники, составляющие его поверхность.

Ребрами многогранника, называются стороны граней многогранника.

Вершинами многогранника, называются вершины граней многогранника.

Многогранники делятся на выпуклые и невыпуклые.

Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от любой его грани.

 

 

Задание. Укажите грани, ребра и вершины куба изображенного на рисунке.

 

Выпуклые многогранники делятся на призмы и пирамиды.

Призма

 

Призма – это многогранник, у которого две грани равные и параллельные
n -угольники, а остальные n граней – параллелограммы.

Два n -угольника называются основаниями призмы, параллелограммы – боковыми гранями. Стороны боковых граней и оснований называются ребрами призмы, концы ребер называются вершинами призмы. Боковыми ребрами называются ребра, не принадлежащие основаниям.

 

Многоугольники А₁А₂…А_n и B₁B₂…B_n – основания призмы.

Параллелограммы А₁А₂ B₂B₁, … − боковые грани.

 

 

Свойства призмы:

· Основания призмы равны и параллельны.

· Боковые ребра призмы равны и параллельны.

 

Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

Высотой призмы называется перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на плоскость нижнего основания.

Призма называется 3-угольной,4-угольной, …, n -угольной, если ее основания
3-угольники,4-угольники, …, n -угольники.

Прямой призмой называется призма, у кото­рой боковые ребра перпендикулярны основаниям. Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.

Наклонной призмой называется призма, не являющаяся прямой. Боковые грани наклонной призмы являются параллелограммами.

Правильной призмой называется прямая призма, у которой в основаниях лежат правиль­ные многоугольники.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней.

 

S _полн = S _бок + 2· S _осн

 

Изображение призмы

Изображение призмы строится следующим образом. Сначала строится одно из оснований. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем из вершин этого многоугольника проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются, и получается другое основание призмы. Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями.

Обозначают:

 

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 − прямая четырехугольная призма

MNPM 1 N 1 P 1 − наклонная треугольная призма

 

Задача

1. В прямой треугольной призме основание прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см. Боковое ребро призмы равно 12 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

 

 

Параллелепипед. Куб

Параллелепипед - это четырехугольная призма, основания которой являются параллелограммами. Паралле­лепипед имеет шесть граней, каждая из которых является параллелограммом. Отрезки, соединяющие вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями параллелепипеда.

Свойства параллелепипеда:

· Противолежащие грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.

· Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

 

Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники. Все грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.

Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются линейными размерами или измерениями прямоугольного параллелепипеда.

 

Задачи:

1. У параллелепипеда три грани имеют площади 1 м², 2 м² и 3 м². Чему равна полная поверхность параллелепипеда.

2. Найдите поверхность прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 10 см, 22 см, 16 см.

Пирамида

 

Пирамида - это многогранник, у которого одна грань является многоугольником, а остальные грани - треугольники, имеющие одну общую вершину.

Многоугольник называется основанием, а треугольники - боковыми гранями. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Различают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. пирамиды в зависимости от вида многоугольника, лежащего в ее основании.

 

 

Изображение пирамиды

Изображение пирамиды строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершинами основания.

SABCD - четырехугольная пирамида;
ABCD - основание пирамиды;
ASAB; ASBC; ASDC; ASDA - боковые грани пирамиды;
S - вершина пирамиды;
SA; SB; SC; SD - боковые ребра;
SO - высота пирамиды

 

Площадью полной поверхности пирамиды является сумма площадей всех граней пирамиды, площадью боковой поверхности - сумма площадей боковых граней.

 

S _полн = S _бок + S _осн

 

Правильная пирамида - это пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а высота, опущенная из вершины пирамиды на плоскость основания, является отрезком, соединяющим вершину пирамиды с центром основания.

Свойства правильной пирамиды:

· Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой.

· Все боковые грани являются равными между собой равнобедренными треугольниками.

 

Задачи:

1. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания 8 см. Найдите боковое ребро.

Усеченная пирамида

Усеченная пирамида - это пирамида, которая получается следующим способом: берется произвольная пирамида, и через точку бокового ребра проводится плоскость, параллельная основанию пирамиды. Данная плоскость разделила пирамиду на две фигуры: пирамиду подобную исходной и многогранник. Полученный многогранник называется усеченной пирамидой. Основаниями усеченной пирамиды служат подобные многоугольники.

 

ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ – усеченная пирамида

 

 

Если усеченная пирамида получается из правильной пирамиды, то она называется правильной усеченной пирамидой. Боковые грани правильной усеченной пирамиды являются равными равнобедренными трапециями. Высота боковой грани называется апофемой правильной усеченной пирамиды. Перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на нижнее, называется высотой усеченной пирамиды.

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей оснований и боковых граней.

S _полн = S _бок + S_{осн 1} + S_{осн 2}

 

 

Правильные многогранники

Правильный многогранник – это выпуклый многогранник, у которого все грани – одинаковые правильные многоугольники.

Существует пять типов правильных многогранников.