Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ) называется уравнение вида

Метод вариации произвольных постоянных для линейного неоднородного ДУ

С перем. коэфф. (для ДУ 2-го порядка)

Этот метод рассмотрим на примере уравнения II порядка:

(1)

Запишем однородное уравнение, соответствующее уравнению (1):

(5)

Пусть и фундаментальная система решений уравнения (2), тогда его общее решение .

Решение уравнения (1) будем искать так: в варьируем произвольные постоянные, т.е. будем считать их функциями от х, т.е. .

И потребуем, чтобы функция удовлетворяла уравнению (1).

Вычислим производную:

Потребуем, чтобы выполнилось равенство:

(А)

Тогда , следовательно,

Подставляя в уравнение (1), получим тождество:

Сгруппируем слагаемые с и :

Обе скобки равны нулю, так как и решения уравнения (2).

Значит, остается:

(В)

Таким образом, чтобы функция была решением уравнения (1) достаточно, чтобы выполнялись равенства (А) и (В), т.е. приходим к системе:

(С)

Функции и неизвестные в этой системе. Определитель этой системы – есть вронскиан решений и в силу фундаментальности решений , значит, система имеет единственное решение:

Интегрируя, находим:

Подставляя найденные функции в общий вид решения, получаем общее решение линейного неоднородного уравнения:

Линейные однородные ДУ с постоян. Коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида:

Если постоянные числа, то уравнение будем называть уравнением с постоянными коэффициентами. Кроме этого, будем считать что коэффициент при второй производной равен 1. Положим где и произвольные числа.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ) называется уравнение вида

где и некоторые действительные числа.

Общее решение ЛОДУ находится достаточно просто, если известны, так называемые, линейно независимые частные решения этого уравнения.

Функции и называются линейно независимыми на множестве D, если их отношение не является постоянной величиной, то есть или другими словами: не существует такого постоянного числа при котором выполнено равенство

В противном случае, функции и называются линейно зависимыми. Например, функции и линейно независимые, а функции и линейно зависимые.

Обозначим через общее решение однородного уравнения ().

Теорема 8.4. (о структуре общего решения ЛОДУ второго порядка). Если и – два линейно независимые частные решения ЛОДУ то функция общее решение этого уравнения, где и произвольные постоянные.

Замечание: Не существует общего метода нахождения частных решений уравнения , когда коэффициент переменные, но для случая, когда они являются константами, Эйлером создан очень удобный метод нахождения частных решений.

Характеристические уравнения для ЛОДУ второго порядка:

Будем искать решение в виде , где k-const.

Очевидно, что . Подставим эти выражения в уравнение:

Уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения .

Характеристическое уравнение есть алгебраическое квадратное уравнение, имеющее два корня и Эти корни, в зависимости от дискриминанта, могут быть действительными и не равными друг другу, действительными и равными и комплексно-сопряженными.