Смешанное произведение трех векторов




ЛЕКЦИЯ 5

 

ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.

 

Вектором называется направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В (который можно перемещать параллельно самому себе).

Длиной (или модулем) вектора называется число , равное длине отрезка .

Векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Если начало и конец вектора совпадают, например , то вектор называется нулевым и обозначается .

Длина нулевого вектора равна нулю: . Считаем, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Действия с векторами:

1. Произведение вектора на число называется вектор , имеющий длину , направление которого совпадает с направлением , если >0, и противоположно ему, если <0.

2. Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец совпадает с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (правило треугольника).

 

В этом случае вектор является диагональю параллелограмма

(правило параллелограмма).

3. Скалярным произведением двух векторов определяется равенством: где - угол между векторами и .

4. Проекцией вектора на вектор называется число , равное длине вектора , если векторы и одинаково направлены, и равное длине вектора со знаком «-», если векторы и направлены в разные стороны. Проекция находится по формуле:

Следствие: .

 

Проекция суммы двух векторов равна сумме проекций:

 

Свойства скалярного произведения векторов.

 

1. , где

следует из определения.

2.

3.

следует из определения.

4.

следует из свойства проекций.

5. , ( условие перпендикулярности двух векторов)

Доказательство: . 

5. , для (условие коллинеарности двух векторов)

Доказательство: или (так как угол между векторами ).

7. , или

следует из св-ва 6.

 

Координаты вектора.

Пусть - единичные векторы системы координат в трехмерном пространстве, то есть . Векторы направлены по осям OX, OY, OZ соответственно.

На плоскости система координат имеет две перпендикулярные оси OX и OY. Поэтому плоскость является двухмерным пространством.

Определение. Проекции вектора на единичные векторы системы координат называются координатами вектора .

Координаты вектора в пространстве определяются тройкой чисел .

Координаты вектора на плоскости определяются двумя числами .

Пусть даны 2 вектора:

Теорема.

Доказательство: .

Тогда :

.

Мы использовали, что , . 

Следствие: , где

Доказательство: . 

 

ЛЕКЦИЯ 6

 

Векторное произведение двух векторов.

 

Векторным произведением двух векторов и называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1. ; .

2. , то есть длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .

3. Направление вектора определяется таким образом, что если смотреть с конца вектора на плоскость, в которой расположены вектора и , то кратчайшее направление вращения вектора до совпадения с направлением вектора будет осуществляться против часовой стрелки.

В дальнейшем мы будем говорить, что векторы , и образуют правую тройку.

Свойства.

1. (антикоммутативность).

2. .

3. .

4. .

5. ; .

Следуют из определения векторного произведения.

Если известны координаты векторов , то векторное произведение можно найти, записав символический определитель, который разложим по 1-й строке: = = .

Доказательство:

.

Мы использовали соотношения 5. 

 

 

Смешанное произведение трех векторов

 

Определение. - смешанное произведение векторов.

Если известны координаты векторов ; , то смешанное произведение можно найти по формуле: . = .

Доказательство: ;

. = = . 

Теорема. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , исходящих из одной точки равен модулю смешанного произведения векторов , то есть .

Доказательство. Пусть .

Тогда = = = . Следовательно, .



 

Условие компланарности трех векторов :

или

 

Вернемся к условиям перпендикулярности и коллинеарности и векторов и запишем их в координатах. Пусть даны 2 вектора:

1. .

2. , где .

Замечание. Если какая-либо координата одного вектора =0, то соответствующая координата другого вектора также =0. Например, если , то .

Примеры.

1) При каких значениях n векторы и будут перпендикулярны?

Решение. ; .

2) При каких значениях m и n векторы и будут коллинеарны?

Решение. Запишем условие коллинеарности: ; .

3) Пусть ; .

Найти а) ; б) ; в) угол между векторами

Решение. а) . б) .

в) .

4) Найти векторное произведение векторов и .

Решение. = или .

Определение. Координатами точки на плоскости (в пространстве) называются координаты ее радиус-вектора.

Пусть даны две точки на плоскости: и . Тогда координаты вектора

Доказательство. . Но . 

 





©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!