ЛЕКЦИЯ 5
ВЕКТОРЫНА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.
Вектором называется направленный отрезок 
с началом в точке А и концом в точке В (который можно перемещать параллельно самому себе).
Длиной (или модулем) вектора называется число 
, равное длине отрезка 
.
Векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Если начало и конец вектора совпадают, например 
, то вектор называется нулевым и обозначается 
.
Длина нулевого вектора равна нулю: 
. Считаем, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Действия с векторами:
1. Произведение вектора 
на число 
называется вектор 
, имеющий длину 
, направление которого совпадает с направлением , если >0, и противоположно ему, если <0.
2. Суммой двух векторов и 
называется вектор 
, начало которого совпадает с началом вектора , а конец совпадает с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (правило треугольника).
В этом случае вектор 
является диагональю параллелограмма
(правило параллелограмма).
3. Скалярным произведением двух векторов определяется равенством: 
где 
- угол между векторами и .
4. Проекцией вектора на вектор называется число 
, равное длине вектора 
, если векторы и одинаково направлены, и равное длине вектора со знаком «-», если векторы и направлены в разные стороны. Проекция находится по формуле: 
Следствие: 
. 
Проекция суммы двух векторов равна сумме проекций:
Свойства скалярного произведения векторов.
1. 
, где 
следует из определения.
2. 
3. 
следует из определения.
4. 
следует из свойства проекций.
5. 
, 
(условие перпендикулярности двух векторов)
Доказательство: 
.
5. 
, для (условие коллинеарности двух векторов)
Доказательство: 
или 
(так как угол между векторами 
).
7. 
, или 
следует из св-ва 6.
Координаты вектора.
Пусть 
- единичные векторы системы координат в трехмерном пространстве, то есть 
. Векторы направлены по осям OX, OY, OZ соответственно.
На плоскости система координат имеет две перпендикулярные оси OX и OY. Поэтому плоскость является двухмерным пространством.
Определение. Проекции вектора на единичные векторы системы координат называются координатами вектора .
Координаты вектора в пространстве определяются тройкой чисел 
.
Координаты вектора на плоскости определяются двумя числами 
.
Пусть даны 2 вектора: 
Теорема. 
Доказательство: 
.
Тогда: 
.
Мы использовали, что 
, 
.
Следствие: 
, где
Доказательство: 
.
ЛЕКЦИЯ 6
Векторное произведение двух векторов.
Векторным произведением двух векторов и называется вектор 
, удовлетворяющий условиям:
1. 
; 
.
2. 
, то есть длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .
3. Направление вектора определяется таким образом, что если смотреть с конца вектора на плоскость, в которой расположены вектора и , то кратчайшее направление вращения вектора до совпадения с направлением вектора будет осуществляться против часовой стрелки.
В дальнейшем мы будем говорить, что векторы , и образуют правую тройку.
Свойства.
1. 
(антикоммутативность).
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
; 
.
Следуют из определения векторного произведения.
Если известны координаты векторов , то векторное произведение можно найти, записав символический определитель, который разложим по 1-й строке: 
= 
= 
.
Доказательство: 
.
Мы использовали соотношения 5.
Смешанное произведение трех векторов
Определение. 
- смешанное произведение векторов.
Если известны координаты векторов 
; 
, то смешанное произведение можно найти по формуле:. = 
.
Доказательство: 
; 
. = 
= .
Теорема. Объем параллелепипеда, построенного на векторах 
, исходящих из одной точки равен модулю смешанного произведения векторов 
, то есть 
.
Доказательство. Пусть 
.
Тогда = 
= 
= 
. Следовательно, .
Условие компланарности трех векторов 
:
или 
Вернемся к условиям перпендикулярности и коллинеарности и векторов и запишем их в координатах. Пусть даны 2 вектора:
1. 
.
2. 
, где 
.
Замечание. Если какая-либо координата одного вектора =0, то соответствующая координата другого вектора также =0. Например, если 
, то 
.
Примеры.
1) При каких значениях n векторы 
и 
будут перпендикулярны?
Решение. 
; 
.
2) При каких значениях m и n векторы 
и 
будут коллинеарны?
Решение. Запишем условие коллинеарности: 
; 
.
3) Пусть 
; 
.
Найти а) 
; б) 
; в) угол между векторами 
Решение. а) 
. б) 
.
в) 
.
4) Найти векторное произведение векторов 
и 
.
Решение. 
= 
или 
.
Определение. Координатами точки на плоскости (в пространстве) называются координаты ее радиус-вектора. 
Пусть даны две точки на плоскости: 
и 
. Тогда координаты вектора 
Доказательство. 
. Но 
.