Алгебра 17.11 8 класс
Тема: Умножение дробей. Возведение дробей в степень. Деление дробей. Преобразование рациональных выражения. Функция у = к/х и ее график.
Ход урока
1. Правила умножения и деления обыкновенных и алгебраических дробей
Правила умножения и деления алгебраических дробей абсолютно аналогичны правилам умножения и деления обыкновенных дробей. Напомним их:
То есть, для того, чтобы умножить дроби, необходимо умножить их числители (это будет числитель произведения), и умножить их знаменатели (это будет знаменатель произведения).
Деление на дробь – это умножение на перевёрнутую дробь, то есть, для того, чтобы разделить две дроби, необходимо первую из них (делимое) умножить на перевёрнутую вторую (делитель).
Примеры умножения и деления
Пример 1
Рассмотрим умножение и деление алгебраических дробей.
Пример 2
Пример 3
Отметим, что сокращать дроби после умножения можно и даже нужно по тем же правилам, которые мы до этого рассматривали на уроках, посвящённых сокращению алгебраических дробей. Рассмотрим несколько простых примеров на частные случаи.
Пример 4
Пример 5
Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров на умножение и деление дробей.
Пример 6
Пример 7
Пример 8
Пример 9
Пример 10
Пример 11
Примеры умножения и деления алгебраических дробей (сложные случаи)
До этого мы рассматривали дроби, в которых и числитель, и знаменатель являлись одночленами. Однако в ряде случаев необходимо перемножить или поделить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами. В этом случае правила остаются такими же, а для сокращения необходимо использовать формулы сокращённого умножения и вынесение за скобки.
Пример 1
Числитель и знаменатель дроби сократили на выражение (а-в) и (с+d)
Пример 2
Числитель и знаменатель дроби сократили на выражение (c-d)
Пример 3
При делении первую дробь оставили, а вторую перевернули, то есть деление заменили умножением
Пример 4
Числитель m^2- n^2 = (m-n)(m+n)
3m+3n = 3(m+n) – 3 вынесли за скобку
5n- 5m = 5(n-m)
Сократили числитель и знаменатель на 3 и (m+n)
В выражении n-m минус вынесли за скобку и записали –(m-n) и сократили на (m-n)
Пример 5
На данном уроке мы рассмотрели правила умножения и деления алгебраических дробей, а также применение этих правил для конкретных примеров.
Правила возведения дробей и целых выражений в натуральную степень с элементарными примерами
Правило возведения обыкновенных и алгебраических дробей в натуральную степень:
Пример 1. 
.
Как видно из примера, возведение дроби в степень – это частный случай умножения дробей, что изучалось на предыдущем уроке.
Пример 2. а) 
, б) 
– минус уходит, т. к. мы возвели выражение в четную степень.
Ответ. 
; 
.
Для удобства работы со степенями вспомним основные правила возведения в натуральную степень:
– произведение степеней;
– деление степеней;
– возведение степени в степень;
– степень произведения.
Пример 3. 
– это известно нам еще с темы «Возведение в степень целых выражений», кроме одного случая: 
не существует.
Простейшие примеры на возведение алгебраических дробей в натуральную степень
Далее рассмотрим примеры посложнее.
Пример 4. Возвести дробь в степень 
.
Решение. При возведении в четную степень минус уходит:
.
Ответ. 
.
Пример 5. Возвести дробь в степень 
.
Решение. Теперь пользуемся правилами возведения степени в степень сразу без отдельного расписывания:
.
Ответ. 
.
Теперь рассмотрим комбинированные задачи, в которых нам будет необходимо и возводить дроби в степень, и умножать их, и делить.
Пример 6. Выполнить действия 
.
Решение. 
. Далее необходимо произвести сокращение. Распишем один раз подробно, как мы это будем делать, а затем будем указывать результат сразу по аналогии: 
. Аналогично (или по правилу деления степеней) 
. Имеем: 
.
Ответ. 
.
Пример 7. Выполнить действия 
.
Решение. 
. Сокращение осуществлено по аналогии с примером, разобранным ранее.
Ответ. 
.
Пример 8. Выполнить действия 
.
Решение. 
. В данном примере мы еще раз более подробно расписали процесс сокращения степеней в дробях, чтобы закрепить этот способ.
Ответ. 
.
Пример 9. Выполнить действия 
.
Решение. В данном примере уже пропустим отдельное умножение дробей, а сразу воспользуемся правилом их умножения и запишем под один знаменатель. При этом следим за знаками – в указанном случае дроби возводятся в четные степени, поэтому минусы исчезают. В конце выполним сокращение.
.
Ответ. 
.
Пример 10. Выполнить действия 
.
Решение. В данном примере присутствует деление дробей, вспомним, что при этом первая дробь умножается на вторую, но перевернутую.
.
Ответ. 
.
График функции y=k\x
Функция вида y=k\x,где k- число,k не равно нулю, х- переменная называется обратной пропорциональностью
Построим график функции y=4/x
Построим график по данным точкам
График функции y=k\x называют гиперболой.
K=4,k>0. График расположен в первой и третьей четверти
Сейчас рассмотрим случай при k<0, например, при k=−4. Тогда функция задана формулой y=−4x, построим её график.
График функции y=−f(x) симметричен графику функции y=f(x) относительно оси x. Таким образом, график функции y=−4x симметричен графику y=4x относительно оси x. Получится гипербола, ветви которой находятся во II и IV координатных углах.
1.Запиши коэффициент обратной пропорциональности для функции y=62\x.
k = 62
2.Определи, в каких четвертях расположен график функции y=−93\x
K=-93 k<0
Расположен во второй и четвертой четверти
3. Графиком какой функции является гипербола?
Ответ:y= - 8\x
ни одной из данных
y=−8\x
y=−(x+1)\8
y=8x^2
y=−1x
Домашнее задание
Выслать 15.11.21
Изучить пункты 5,6 и 8