Расчет токов матричным методом

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

 

Для схемы, соответствующей номеру варианта, разработать алгоритм и составить программу, которая предусматривает:

1. Расчет токов в ветвях по законам Кирхгофа.

2. Проверку баланса мощностей.

3. Построение потенциальной диаграммы для любого замкнутого контура, включающего источник ЭДС.

Сделать проверочные расчеты:

1. Расчет токов в ветвях матричным методом.

2. Промоделировать процессы в электрической схеме в среде Simulink.

Систему линейных уравнений с неизвестными токами решить методом Гаусса. Для этого создать универсальную собственную функцию. Расчеты проводить в среде пакета Matlab.

 

Таблица 1.1 – Исходные данные

№ вар.	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	В	А

 

3 к.

2 к.

1 к.

(2)

(1)

Рисунок 1.1 – Электрическая цепь

 

2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

 

2.1 Расчет токов по законам Кирхгофа

 

Первый закон Кирхгофа устанавливает зависимость между токами для узлов электрической цепи, к которым подходит несколько ветвей. Согласно этому закону алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю.

При этом токи, направленные к узлу, берут с одним знаком (например, положительным), а токи, направленные от узла – с противоположным знаком (отрицательным).

Число независимых уравнений, составленных по 1-му закону Кирхгофа, составляет , где – число узлов в схеме.

Второй закон Кирхгофа устанавливает зависимость между ЭДС и напряжением в замкнутой электрической цепи. Согласно этому закону во всяком замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур. При составлении формул, характеризующих второй закон Кирхгофа, значения ЭДС и падений напряжений считают положительными, если направления ЭДС и токов на соответствующих участках контура совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура. Если же направления ЭДС и токов на соответствующих участках контура противоположны выбранному направлению обхода, то такие ЭДС и падения напряжения считают отрицательными.

Число независимых уравнений, составленных по 2-му закону Кирхгофа, составляет , где – число ветвей с неизвестными токами в схеме, .

Уравнения составляются для независимых контуров.

Таким образом, получаем систему линейных уравнений с неизвестными, которую можно решить любым из известных методов. Ток в ветви может иметь отрицательное значение. Это означает, что действительное направление тока противоположно выбранному в начале расчета произвольно направлению.

Рассмотрим случай, указанный в задании. В схеме 4 узла, 7 ветвей, 1 ветвь с известным током. Необходимо составить уравнения по 1-му закону Кирхгофа и уравнения по 2-му.

Cоставим систему из 3-х уравнений по 1-му закону Кирхгофа для 3-х узлов:

Также составим систему из 3-х уравнений по 2-му закону Кирхгофа для 3-х контуров:

В ходе подстановки уравнений, составленных по 1-му закону Кирхгофа в систему по 2-му, получим следующую СЛАУ:

Решив полученную СЛАУ методом Гаусса, определим значение токов и . Затем определим токи и при помощи известных уравнений по 1-му закону Кирхгофа.

 

Расчет токов матричным методом

 

Матричный метод расчета токов в ветвях разветвленных электрических цепей, по сути, представляет собой формализацию метода контурных токов, известного из электротехники.

Вначале необходимо определить параметры цепи:

– количество узлов в схеме;

– количество независимых узлов;

– количество ветвей с неизвестными токами;

– количество независимых контуров.

Для каждой ветви выбирается положительное направление тока, для каждого контура – положительное направление обхода.

Записываются векторы-столбцы ЭДС размером () и источников тока размером (), составляется квадратная диагональная матрица сопротивлений ветвей размером ().

После этого составляется матрица независимых контуров размером () по принципу:

 

и матрица соединений размером ():

 

 

Запишем уравнения в матричной форме по законам Ома и по I и II законам

Кирхгофа:

Умножив уравнение на слева, имеем:

,

Если объединить уравнения и в одну систему, получим:

Обозначив матрицу коэффициентов как и вектор свободных членов как :

получаем систему линейных уравнений в матричном виде , которую можно решить любым известным методом.

Сформируем указанные матрицы, используя данный метод.

Векторы-столбцы источников ЭДС и тока , а также матрица сопротивлений ветвей будут иметь следующей вид для данной цепи:

Составим матрицу независимых контуров для независимых контуров 1, 2 и 3 и матрицу соединений для независимых узлов 1, 2, 3, обозначенных на рис. 1.1.

Составив матрицу коэффициентов и вектор свободных членов , воспользуемся формулами (4) и (5), соответственно:

Решим полученную матрицу при помощи метода Гаусса получим результаты.

 

2.3 Построение потенциальной диаграммы

 

Потенциальная диаграмма является одной из проверок вычисления токов в ветвях. При обходе какого-либо замкнутого контура потенциал узла, с которого начинается обход, принимается равным нулю, и если после завершения обхода последний потенциал (то есть потенциал, с которого начинался обход) равен нулю, то токи в контуре рассчитаны правильно.

Для построения потенциальной диаграммы надо рассчитать вектор потенциалов (по закону Ома) и соответствующий ему вектор сопротивлений по направлению обхода контура.

 

Рисунок 2.1 – Контур электрической цепи

 

Примем , тогда:

и соответствующий вектор сопративлений будет равен:

 

2.3 Проверка баланса мощностей

 

Для проверки результата вычисления токов ветвей в электрической цепи необходимо рассчитать баланс мощностей. Для любых замкнутых цепей сумма мощностей источников электрической энергии равна сумме мощностей, расходуемых в приемниках энергии .

Если направление тока , протекающего через источник ЭДС , совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС доставляет в цепь мощность равную с положительным знаком. Если направление тока встречно направлению источника ЭДС , то источник ЭДС не доставляет в цепь энергию, а потребляет ее, и мощность войдет в уравнение энергетического баланса с отрицательным знаком.

Если схема питается не только от источников ЭДС, но и от источников тока , при составлении уравнения энергетического баланса необходимо учесть и энергию, доставляемую источниками тока. Для этого следует найти напряжение на зажимах источников тока .

Баланс мощностей не должен превышать 5 %.

Для исходной электрической цепи уравнение энергетического баланса будет иметь вид:

По 2-му закону Кирхгофа в данной электрической цепи равен: