Зарядка, разрядка и саморазрядка конденсатора

Если конденсатор с сопротивлением (утечки) R и емкостью С подключить к источнику с постоянным напряжением U (замыка­нием ключа А), то в цепи (рис. 20.3а) появится ток зарядки конденсатора (см. (11.16)):

(12)

где и_с — напряжение на конденсаторе в любой момент времени переходного процесса.

По второму закону Кирхгофа для цепи зарядки конденсатора (рис. 20.3а) можно записать уравнение

(13)

где произведение RC имеет размерность времени, обозначается буквой т и называется постоянной времени переходного процесса в RС-цепи, т. е.

(14)

([τ] = [RС] = Ом·Ф=Ом·Кл/В=Кл/А=А·с/A=c)

Уравнение (20.13) можно записать в виде

(15)

Если в уравнении (15) разделить переменные, проинтегриро­вать, а затем спотенцировать, то получится выражение

(20.16)

где U — установившееся напряжение щ RC-цепи; (—Ue^-t/τc) — свободная составляющая напряжения и_св на конденсаторе; т.е.

U_c=Uy + U_CB.

Следовательно, напряжение на заряжающемся конденсаторе в любой момент времени t переходного процесса определяется вы­ражением

(17)

По (20.17), пользуясь Приложением 9, можно определить, что за время t =τ_с конденсатор зарядится до напряжения и_с= 0,63U, а за время t= 4,6τ_с - до напряжения u_c = 0,99U.

Теоретически зарядка конденсатора длится бесконечно долго, а практически конденсатор считается заряженным, когда напря­жение на нем достигает 99 % напряжения источника U.

Таким образом, и в RС-цепи, чем больше постоянная време­ни τ_с, тем больше времени t тратится на зарядку конденсатора, т. е. и в данном случае постоянная времени τ_с характеризует дли­тельность зарядки и разрядки конденсатора.

Ток i при зарядке конденсатора (см. (20.13)) уменьшается по за­кону

(20.18)

где I=U/R максимальный ток, который имеет место в начальный момент t =0 зарядки конденсатора (момент коммутации).

За время t =τ_с ток в цепи заряжающегося конденсатора умень­шится до 0,37 I, а за время t =4,6τ_с - до 0,01 I, при котором пере­ходный процесс можно считать законченным.

Графики изменения напряжения на конденсаторе и тока в цепи зарядки конденсатора изображены на рис. 20.3б.

Если конденсатор емкостью С, заряженный предварительно до напряжения U, разряжать через резистор с сопротивлением R (рис. 20.4а), то напряжение и_с на конденсаторе и ток в цепи раз­рядки будут уменьшаться по закону

(19)

(20)

где U — напряжение на конденсаторе до начала разрядки (при t =0), а I=U/R максимальный ток в начальный момент разрядки (при t =0), τ_с= RC — постоянная времени в цепи разрядки кон­денсатора.

За время t=τ_c напряжение и ток уменьшатся до 37 % своих максимальных значений. Изменение напряжения и тока на раз­ряжающемся конденсаторе показаны на рис. 20.4б (в разных мас­штабах).

Если конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения U, отсоединить от источника, то он будет разряжаться через свой диэлектрик. Напряжение на нем будет уменьшаться по зако­ну и_с= Ue^-t/τc. Процесс разрядки конденсатора через свой ди­электрик называется саморазрядом.

Постоянная времени саморазряда зависит от физических свойств диэлектрика

(21)

где ρ — удельное сопротивление диэлектрика; ε ₀ — электрическая постоянная; ε _r — диэлектрическая проницаемость диэлектрика (относительная). Для определения напряжения, тока, ЭДС в любой момент пе­реходного процесса RL-цети и RС-цепи можно воспользоваться таблицей показательных функций (Приложение 9).

Пример 1

Катушка электромагнита с параметрами R=11 Ом и L = 0,11 мГн подключена к сети постоянного тока с напряже­нием U= 110 В. Определить время t, за которое ток в катушке i увеличится от нуля до 8 А. Определить, какого значение достиг­нет ЭДС самоиндукции e_L за время t.

Решение

Установившийся ток I=U/R=110/11=10 А.

Постоянная времени для катушки τ_L = L/R=0,11·10 ^-3/11=10^-5c/

Подставляем значение величин в (20.10):

8 = 10(1 –e^-t/τL), откуда е^-t/τL =(10-8)/10= 0,2.

По Приложению 9 определяется Х=t/τ= 1,6, откуда

t=1,6τ_д=1,6·10 ^-5с.

ЭДС самоиндукции за время 1,6 10^-5 с уменьшается со 110 В до значения

e_L=Ue ^–t/τL = 110е ^{-1,6·10-5/10-5}= 110 e ^{-1, 6}=110·0,2 = 22В.

Пример 2

К зажимам катушки индуктивности с параметрами R_K= 100 Ом, L_к= 10 Гн подключен вольтметр V (рис. 20.26) электродинамиче­ской системы. Сопротивление вольтметра R_V=5000 Ом. Напря­жение на клеммах источника U= 200 В.

Определить напряжение на зажимах вольтметра и ток в обмот­ках прибора (обмотки соединены последовательно) при t=0, если размыкание рубильника К произойдет мгновенно и дуги не воз­никнет.

Решение

До размыкания рубильника через катушку проходил ток

В момент размыкания рубильника (t= 0) весь этот ток проходит по обмоткам вольтметра. При этом на вольтметре напряжение станет равным

Такого напряжения (10 кВ) и такого тока (2 А) обмотка вольт­метра (обычно подвижная обмотка электродинамического прибо­ра рассчитана на ток порядка десятков, максимум, сотен милли­ампер) не выдержит и сгорит.

При размыкании рубильника с конечной скоростью между расходящимися контактами рубильника К (рис. 20.2б) возникнет электрическая дуга. Это приведет к тому, что увеличение напряже­ния на вольтметре и тока через обмотки вольтметра будет меньше, чем в рассмотренном выше случае (мгновенное размыкание руби­льника). Однако меры предосторожности для сохранения вольт­метра и рубильника, описанные выше, нужно соблюдать.

Пример 3

Конденсатор емкостью С=2 мкФ через сопротивление R = 500 кОм подключается к источнику с постоянным напряже­нием U= 220 В.

Определить напряжение на конденсаторе и_с и ток в цепи за­ряда конденсатора i через 2 с от начала заряда конденсатора (t=2 с), а также время t`, за которое этот конденсатор зарядится до напряжения U_c= 150 В. Решение

Постоянная времени заряда конденсатора

τ_c=RC=500·10³·2·10^-5=1 с.

Напряжение на конденсаторе через 2 с от начала заряда

и_с= U(1-е ^–t/τc) = 220(1 -е^-2/1) = 220-0,865 =190 В.

Ток в цепи заряда конденсатора через 2 с от начала заряда

i=Ie ^–t/τc =44·10^-5·0,135 = 5,94·10^-5А,

так как I=U/R=220/(500·10³)= 44·10^-5 А. R 500 10³

Время t' заряда конденсатора до напряжения 150 В определяет­ся по формуле (20.17):

150 = 220(1 – е^-t`/τс).

Откуда e ^-t`/τc=(220-150)/220=0,318В.

Из таблицы показательных функций (Приложение 9) находят t'=1,14 с.

Пример 4

Параметры цепи, изображен­ной на рис. 20.5, следующие: R₁ = = 6 Ом; R₂ = 200 кОм; R₃ = 60 Ом; L = 3 Гн; С= 10 мкФ и U= 120 В.

Определить значение токов в ветвях через время t= 2 с после за­мыкания ключа К.

Решение

Для ветви (1) с индуктивностью

Рис. 20.5

определяются: установившийся ток I₁=U/R₁=120/6=20A

и постоянная времени τ_L=L/R=3/6 = 0,5 с.

Тогда ток через 2 с будет равен

i ₁= I₁(1 –e ^–t/τL) = 20(1- e^-2/0,5) = 20(1 - τ^-4) = 20(1-0,018)= 19,64 А.

Для ветви (2) с емкостью определяются: максимальный установившийся ток по окончании переходного процесса

I₂=U/R₂=120/(200·10³)=0,6·10^-3 A

и постоянная времени τ_с=R₂С=200·10³ ·10·10 ^-6 = 2 с.

Тогда ток зарядки через 2 с будет равен

i ₂=I2e ^–t/τc =0,6·10^-3 e -^2/2=0,6·10^-3·0,37=0,22·10^-3А.

Для ветви (3) с активным сопротивлением R₃ определяется

ток ветви I₃=U/R₃=120/6= 2 А.

Постоянная времени х₃ = 0, так как отсутствуют L и С.

Через 2 с значение тока будет таким же, т. е. i₃ = I₃= 2 А.