ТФКП И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Для студентов факультетов «Э» 2 курса, 4 семестра
Уч. г. (специалисты и бакалавры)
Дисциплина состоит из 2-х учебных модулей и зачета
Модуль 1 «Теория функций комплексного переменного»
| Виды аудиторных занятий и самостоятельной работы | Сроки проведения или выполнения,недели | Трудоёмкость,часы | Примечание |
| Лекции | 1-9 | ||
| Упражнения | 1-9 | ||
| Домашние задания текущие | 1-9 | ||
| Контроль по модулю №1 |
Модуль 2 «Ряды Фурье и операционное исчисление»
| Виды аудиторных занятий и самостоятельной работы | Сроки проведения или выполнения,недели | Трудоёмкость,часы | Примечание |
| Лекции | 10-17 | ||
| Упражнения | 11-16 | ||
| Домашние задания текущие | 11-16 | ||
| Контроль по модулю №3 |
Модуль 1. Теория функций комплексного переменного
Лекции
Лекция 1. Комплексное переменное, комплексная плоскость. Задание кривых и областей в комплексной плоскости:
.
Функция комплексного переменного, ее геометрический смысл. Однозначные и многозначные функции. Примеры линейной и степенной функции.
Л-2 гл.2 §2; Л-3 гл.1 §2, гл.2 §1,2., Л-1, гл.1,3.
Лекция 2. Предел функции комплексного переменного, непрерывность. Производная функции комплексного переменного, условия Коши-Римана. Аналитичность функции в области, в точке. Гармонические функции, их связь с аналитическими функциями. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Однолистные и многолистные функции.
Л-2 гл.2 §2; Л-3 гл.1 §3,4., Л-1, гл.3,4.
Лекция 3. Ряды с комплексными членами. Определение функций 
с помощью степенных рядов. Вывод формул, связывающих эти функции. Логарифмическая функция комплексного переменного, ее свойства: выделение действительной и мнимой части, многозначность, главное значение, область определения. Вычисление значений функций 
Л-2 гл.4 §2,3; Л-3 гл.2 §1,2, гл.3 §1, гл.4 §1. Л-1, гл.3, §3.3,3.5.
Лекция 4. Конформные отображения.Основные свойства.Теорема Римана. Конформные отображения элементарными функциями: линейной, дробно-линейной, функцией Жуковского. Показательная функция и логарифм.
Л-1 гл. 9-10; Л-3 гл.6;.
Лекция 5. Интеграл от непрерывной функции комплексного переменного, его выражение через действительные криволинейные интегралы, основные свойства. Интеграл от аналитической функции комплексного переменного, его независимость от пути интегрирования, формула Ньютона - Лейбница. Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей.
Л-2 гл.2 § 4; Л-3 гл.1 § 5, Л-1, гл.5.
Лекция 6. Вычисление интегралов вида 
. Интегральная формула Коши для функции, аналитической в односвязной и многосвязной области. Вывод интегральной формулы производной n-го порядка. Бесконечная дифференцируемость функции в точке аналитичности 
. Вычисление интегралов по замкнутому контуру с помощью интегральной формулы Коши и интегральной формулы n-ой производной.
Л-2 гл.2 § 4, 5, 6, Л-1, гл.5.
Лекция 7. Ряды Лорана, их область сходимости. Теоремы о разложении аналитической функции в кольце в ряд Лорана, аналитической функции в круге в ряд Тейлора. Интегральные коэффициенты ряда Тейлора и ряда Лорана.
Л-2 гл.2 § 4, 6; Л-3 гл.2 § 1-2,, Л-1, гл.6.
Лекции 8-9. Изолированные особые точки функции, их классификация. Поведение функции в окрестности различных типов особых точек. Связь нулей функции 
и полюсов функции 
. Вычет функции в изолированной особой точке. Равенство вычета в точке 
коэффициенту 
ряда Лорана функции 
по степеням 
. Вычисление вычета в полюсе (вывод формулы) и в существенно особой точке. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов от функции комплексного переменного по замкнутому контуру и несобственных интегралов в действительной области.
Л-2 гл.4 §1, 2, 3; Л-3 гл.4 § 1, 2, гл.5 § 1,, Л-1, гл.7,8.
Упражнения
Занятие 1. Действия с комплексными числами (повторение). Геометрия на комплексной плоскости. Функции комплексного переменного и осуществляемые ими отображения.
Ауд.: Л-12, Занятия 1, 2 или Л-5 гл.11 №11.3 11.4 11.8 11.10 11.11 11.13 11.18 11.20 11.23 11.35 11.40 11.41.
Дома: Л-9, Занятия 1, 2 или Л-5 гл.11 №11.1 11.5 11.6 11.7 11.12 11.19 11.21 11.22 11.36.
Занятие 2. Числовые и функциональные ряды с комплексными членами, определение их области сходимости, степенные ряды.
Л-12, Занятие 3 или Л-5 гл.12:
Ауд.: №12.165 12.168 12.181 12.183 12.189 12.344 12.347 12.348.
Дома: №12.166 12.167 12.174 12.187 12.192 12.343 12.351 12.246.
Занятие 3. Элементарные функции комплексного переменного, вычисление их значений в точке, выделение действительной и мнимой частей. Производная, отыскание аналитической функции по ее действительной или мнимой части.
Л-12, Занятие 4 или Л-5 гл.11:
Ауд.: №11.53 11.55 11.62 11.64 11.65 11.80 11.112 11.116 11.131 11.132.
Дома: №11.54 11.56 11.63 11.66 11.67 11.81 11.113 11.115 11.133 11.135.
Занятие 4. Основные конформные отображения.
Л-12, Занятие 5 или Л-5 гл.11:
Ауд.: № 11.138 11.144 11.146 11.171 11.184 111.189 11.191 11.193 11.195 11.199.
Дома: № 11.140 11.145 11.147 11.172 11.187 11.188 11.194 11.198 11.
Занятие 5. Интегрирование функций комплексного переменного.
Л-12, Занятие 6 или Л-5 гл.12:
Ауд.: №11.230 11.233 11.235 11.237 11.240 11.249 11.251 11.
Дома: №11.231 1.232 11.236 11.238 11.239 11.250 1.252.
Занятия 6-7. Разложение функций в ряды Тейлора и Лорана.
Л-12, Занятие 7 или Л-5 гл.12:
Ауд.: №12.214 12.247 12.226 12.232 12.234 12.239 12.352 12.366 12.354.
Дома: №12.215 12.216 12.227 12.231 12.233 12.238 12.245 12.355 12.360 12.369 12.368.
Занятие 8. Особые точки, классификация. Вычисление вычетов в особых точках.
Л-12, Занятие 8 или Л-5 гл.12:
Ауд.: №12.408 12.411 12.415 12.419 12.420 12.424 12.431.
Дома: №12.409 12.414 12.416 12.421 12.423 12.426 12.432.
Занятие 9. Применение вычетов к вычислению интегралов от функции комплексного переменного по замкнутому контуру и несобственных интегралов в действительной области.
Л-12, Занятие 8 или Л-5 гл.12:
Ауд.: №12.433 12.435 12.439 12.441 12.443 12.445 12.456 12.459 12.463.
Дома: №12.434 12.436 12.440 12..442 12.444 12.447 12.459 12.464.
Занятие 10. Рубежный контроль по модулю 1 ТФКП.
Модуль 2. Ряды Фурье и операционное исчисление
Лекции
Лекции 10-11. Ортогональность системы тригонометрических функций на отрезках 
и 
. Тригонометрические ряды Фурье и коэффициенты Эйлера-Фурье. Комплексная форма ряда Фурье. Теорема Дирихле (без док-ва). Разложение в ряд Фурье периодических, четных и нечетных функций. Неполные ряды Фурье. Разложение функций в ряд Фурье на произвольном отрезке длины 
. 
Л-11, гл. 3,4; ОЛ -12, гл.17,§ 1-7, Л-13, ч.2, гл.10, §1 - 4.
Лекция 12. Разложение функций по произвольной полной ортогональной системе. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полнота тригонометрической системы.
Л-11, гл. 3,6;
Лекция 13. Понятие об интегральном преобразовании. Преобразования Фурье и Лапласа, связь между преобразованиями Фурье и Лапласа. Оригинал и изображение. Теорема о существовании изображения. Поведение изображения в бесконечно удаленной точке. Единичная функция Хэвисайда и ее изображение.
Л-2 гл.7 §1, 2, 4; Л-3 гл.8 §11; Л-4 гл.1 §1, 2; Л-8 гл. 5,§6.1, Л-10 гл.1,2, §1, 2.
Лекция 14. Основные теоремы операционного исчисления: линейности, подобия, смещения, запаздывания, о дифференцировании и интегрировании оригиналов и изображений. Теоремы о связи начальных и конечных значений изображения и оригинала. Таблица оригиналов и изображений.
Л-2 гл.7 §2; Л-3 гл.8 §1; Л-4 гл.2 §1-6; Л-8 §6.2., 6.3, Л-10 гл.2, §3.
Лекция 15. Нахождение изображения периодического оригинала. Дельта-функция Дирака и ее изображение. Импульсные функции и их изображения.
Л-2 гл.7 §2; Л-3 гл.8 §1; Л-4 гл.3 §1, 4, гл.2 §3; Л-8 §6.2, 6.3, Л-10 гл.2, §3.
Лекции 16. Свертка оригиналов и ее изображение. Формулы обращения. Теоремы разложения. Интеграл Дюамеля.
Л-2 гл.7 §2; Л-3 гл.8 §1; Л-4 гл.2 §4, гл.4 §3; Л-8 §6.4,, Л-10 гл.2, §4.
Лекция 17. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений.
Л-2 гл.8 §1; Л-3 гл.8 §1, 3; Л-4 гл.5 §1-4; Л-8 §6.5, Л-10 гл.3, §1, 2.
Упражнения
Занятие 11. Ряды Фурье.
Ауд. Л-5, гл.12: №480 482 484 486 488,или ОЛ-14: № 2672 2673 2677 2697 2698.
Дома:Л-5, гл.12: №481 483 485 487, или Л-14: №2671 2674 2695 2696.
Занятие 12. Неполные ряды Фурье.
Ауд. Л-5, гл.12: №493 495 497 498, или Л-14: №2683 2684 2687 2689 2702.
Дома: Л-5, гл.12: №494 499 500, или Л-14: №2685 2686 2690 2700.
Занятия 13-14. Нахождение изображений и оригиналов.
Л-6: Ауд.: №524 526 529 538 540 546 555 560 564 566 569 573 576 580 613 625 634 635 627.
Дома: №528 536 542 547 563 565 570 574 579 620 633.
или Л-5 гл.13 §1, 2: Ауд.: №13.1 2 6 9 17 20 29 37 47 53 58 74 76 78 79 82 84 86.
Дома: №13.3 7 8 10 19 22 26 30 40 48 52 61 75 77 80 83 85 87.
Занятие 15. Теоремы разложения.
Л-5 гл.13 §2: Ауд.: №13.88 90 93 96 98 102 104.
Дома: №13.89 91 94 97 99 101 103.
Занятие 16. Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений.
Л-6: Ауд.: №654 657 665 683 718 720 758.
Дома: №655 666 721 760 762.
или Л-5 гл.13 §3: Ауд.: 13.105 111 114 117 119 129 132 137.
Дома: 13.107 112 115 118 121 130 134 136 138.
Занятие 17. Контроль по модулю 2 «Ряды Фурье и операционное исчисление».