Раздел 3. Анализ распределений многомерных случайных величин

ПРОГРАММА

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Раздел 1. Исчисление вероятностей случайных событий

Тема 1. Введение. Первичные понятия теории вероятностей и простейшие способы определения вероятности. Экскурс в историю развития теории вероятностей. Случайные явления и предмет теории вероятностей. Основные типы задач, решаемых с применением вероятностно-статистических методов и моделей. Понятия случайного эксперимента (испытания) и события. Случайное, невозможное и достоверное события. Статистическая устойчивость частот событий и интуитивное представление о вероятности. Пространство элементарных событий с конечным числом исходов и классическое определение вероятности. Геометрический и статистический способы определения вероятностей.

Тема 2. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Операции над событиями: пересечение, объединение, дополнение, разность, импликация. Основные свойства операций над событиями.

Тема 3. Вычисление вероятностей сложных событий. Условная вероятность события. События независимые попарно и в совокупности. Формулы умножения вероятностей, полной вероятности и Байеса. Примеры вычисления вероятностей сложных событий.

Тема 4. Схема независимых повторных испытаний. Описание схемы независимых повторных испытаний с двумя исходами: успех и неудача. Вычисление вероятностей наблюдения определенного числа успешных испытаний с помощью формулы Бернулли. Приближенные вычисления вероятностей в схеме независимых повторных испытаний с помощью предельных теорем. Теорема Пуассона. Ло­кальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Следствия из интегральной теоремы об относительной частоте случайного события и вероятности наблюдения определенного числа успешных испытаний числа.

Раздел 2. Анализ распределений одномерных случайных величин

Тема 5. Общие сведения о случайной величине. Интуитивное понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятностей и ее свойства. Содержательные примеры случайных величин смешанного типа (пример из актуарной математики).

Тема 6. Анализ распределения случайной величины дискретного типа. Основные способы описания распределения дискретной случайной величины. Таблица распределения вероятностей. Нахождение функции распределения и вероятности попадания в интервал дискретной случайной величины. Основные числовые характеристики: математическое ожидание и дисперсия, мода, начальные и центральные моменты. Содержательная интерпретация числовых характеристик, возможная сфера применения. Постановка и решение задачи нахождения распределения функции от дискретной случайной величины. Моделирование дискретной слу­чайной величины с заданным распределением.

Тема 7. Наиболее известные дискретные распределения и их числовые характеристики. Биномиальное и отрицательное биномиальное распределе­ния. Гипергеометрическое, геометрическое и пуассоновское распределения.

Тема 8. Общее понятие математического ожидания случайной величины. Определение математического ожидания с помощью интеграла Римана-Стильтьеса. Простейшие свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Тема 9. Анализ абсолютно непрерывного распределения случайной величины. Нахождение функции распределения и вероятности попадания в интервал непрерывной случайной величины. Основные числовые характеристики: математическое ожидание и дисперсия, мода и квантиль, начальные и центральные моменты, коэффициент асимметрии и эксцесс. Постановка и решение задачи нахождения распределения функции от непрерывной случайной величины. Универсальное преобразование случайной величины. Моделирование непрерывной слу­чайной величины с заданным законом распределения.

Тема 10. Наиболее известные абсолютно непрерывные распределения и их числовые характеристики. Равномерное распределение. Показательное распределение. Распределение Коши. Нор­мальное и логнормальное распределение. Гамма-распределение.

Раздел 3. Анализ распределений многомерных случайных величин

(случайных векторов)

Тема 11. Распределение вероятностей и числовые характеристики случайного вектора. С овместное, частное и условное распределения случайного вектора. Функция распределения случайного вектора и ее свойства. Независимые случайные величины. Нахождение вероятности попадания случайного вектора в заданную область. Математи­ческое ожидание случайного вектора и его свойства. Ковариационный (корреляционный) момент и его свойства. Ковариационная матрица и ее свойства. Коэффициент линейной корреляции и его свойства. Математическое ожидание и дисперсия средней арифметической.

Тема 12. Частные и условные распределения, числовые характеристики дискретного и непрерывного случайных векторов. Таблица распределения двумерного дискретного случайного вектора, частные и условные распределения. Плотность распределения многомерной случайной величины, частные и условные плотности распределения.

Тема 13. Преобразование многомерных случайных величин. Постановка задачи. Основные приемы и формулы, используемые для нахождения закона распределения заданной функции от случайного вектора. Нахождение распределения суммы, разности, произведения и частного двух случайных величин.

Тема 14. Наиболее известные многомерные и статистические распределения. Полиномиальное распределе­ния. Равномерное распределение в области. Многомерное нормальное расп­ределение, его параметры (вектор средних и матрица ковариаций) и свойства. Распределения вероятностей, наиболее часто применяемые в практике статистических исследований: хи-квадрат, Сьюдента и Фишера.