I. Цель работы
Наблюдения над колебательными движениями математического маятника, реализуемые на приборе, функциональная схема которого, представлена на рисунке 1.
Измерение периода колебаний маятника при различных длинах и амплитудах.
Определение режима изохронности колебаний математического маятника.
Вычисление ускорения свободного падения шарика по результатам указанных измерений.
II. Теоретическая часть
Рассмотрим прибор, состоящий из шарика небольших размеров, прикреплённого к неподвижной точке подвеса с помощью невесомой нерастяжимой нити определённой длины (рис. 1).
Если размеры шарика много меньше длины l нити, то шарик можно рассматривать как материальную точку; а если масса шарика много больше массы нити, то последнюю можно считать невесомой. Нить также можно считать нерастяжимой при условии, что сила тяжести шарика вызывает бесконечно малое удлинение нити.
Данный прибор позволяет моделировать колебательные движения так называемого математического маятника.
Рис. 1. Прибор для изучения колебаний математического маятника: 1. Металлическая пластина для установления угла отклонения маятника; 2. Подвижная платформа; 3. Измерительная линейка.
Рис 2. Иллюстрация колебательных движений математического маятника.
Действительно, в исходном состояние нить направлена вертикально вниз (положение 1 на рисунке 2). В этом случае сила F натяжения нити и сила mg тяжести шарика совпадают с направлением нити, но противоположно направлены. Так как нить нерастяжима, то обе силы уравновешивают друг друга, т.е. F = mg. Шарик находится в покое. Такое состояние маятника называется положением его равновесия.
Выведем маятник из положения равновесия, отклонив шарик от первоначального состояния на угол φ0 (рис. 2). После чего отпустим его без толчка. Под действием силы тяжести mg шарик начнёт движение в сторону положения равновесия, через некоторое время перейдёт его, затем с другой стороны от положения равновесия отклонится от него на некоторый угол меньший чем φ0 и под действием силы тяжести снова устремится в сторону положения равновесия. При отсутствии внешних воздействий на шарик последний будет совершать описанное движение в одной плоскости. Очевидно, что траекторией движения шарика будет дуга окружности радиуса l. Такие движения называются колебаниями.
Вследствие действия силы сопротивления на шарик, его колебания будут затухающими свидетельством чего служит то, что после каждого прохождения равновесия он будет отклоняться от него на всё меньший и меньший угол. Однако если наблюдать данный процесс в течение довольно короткого времени, то колебательный процесс можно признать незатухающим.
Рассмотрим силы, которые действуют на шарик в произвольный момент времени t. Пусть φ – угол отклонения нити в этот момент. Запишем следующее уравнение второго закона Ньютона на направление τ, совпадающим с касательной, проведённой к той точке траектории движения шарика, в которой он находится в рассматриваемый момент времени t.
maτ = - mg sin φ (1)
Здесь aτ – тангенциальное ускорение, m – масса шарика. Знак минус справа в (1) учитывает то обстоятельство, что при движении от положения равновесия вверх сила тяжести препятствует этому движению.
Угловое ускорение ε шарика определяется как вторая производная по времени от угла φ, т.е.
. (2)
Между тангенциальным ускорением aτ и угловым ε имеет место очевидная связь
(3)
Уравнение (1) с учётом формул (2) и (3) принимает вид:
. (4)
В уравнение (4) неизвестная функция φ(t) стоит под знаком производной второго порядка. Такое уравнение в математике называют обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка.
Его можно упростить, если учесть, что при малых углах φ, измеренных в радианах 
. Тогда вместо (4) будем иметь
. (5)
Уравнение (5) описывает движение маятника. Его ещё называют уравнением гармонического осциллятора.
Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что решение уравнения (5) имеет вид
, (6)
если через 
обозначить
. (7)
Таким образом, видно, что изменения угла φ по времени происходит по синусоидальному закону. Величина φ0, равная максимальному углу отклонения от положения равновесия, называется амплитудой гармонических колебаний. Величина амплитуды в данном случае зависит от первоначального отклонения. Величина же 
стоящая под знаком синуса называется фазой. Фаза растёт пропорционально времени. Величина 
под знаком синуса называется начальной фазой, которая в рассматриваемом движении равна нулю.
Функция синуса, определяющая характер колебательных движений, суть периодическая функция с величиной периода равного 
. Последнее означает, что если через T обозначить период колебаний маятника, то можно написать следующее равенство для величины фазы
, (8)
где 
– круговая частота.
Теперь с учётом (7) для периода Т будем иметь:
(9)
Соотношение (9) свидетельствует о том, что линеаризация уравнения (4) привела к уравнению (5), решение которого допускает независимость Т от амплитуды φ0.
Такие колебания называются изохронными.
Формулу (9) можно ещё представить так:
kl, (10)
где через
(11)
обозначен угловой коэффициент линейной функциональной зависимости функции T2 от аргумента l.
Следовательно, изохронность колебаний маятника проверяется справедливостью соотношения (10) по измеренным значениям периода T при различных значениях l, соотнесённых к одному и тому же углу φ0.
Функциональная зависимость 
, построенная по экспериментальным точкам, позволяет определить угловой коэффициент k, через числовое значение которого ускорение g свободного падения шарика вычисляется так:
. (12)
Кроме того по единичным измерениям T и l ускорение g можно вычислить ещё из такого соотношения:
(13)
III. Порядок проведения эксперимента
Так как линеаризация уравнения (4), приведшая к уравнению (5), описывающего изохронные колебания, основана на предположении 
, очевидно, что диапазон изохронности определяется значениями угла φ0 при которых имеет место линейная зависимость 
.
Следовательно, чтобы определить диапазон значений φ0, при которых справедливо соотношение (10), необходимо для нескольких значений φ0 произвести измерения, позволяющие построить зависимости 
, далее из указанных функциональных зависимостей вычислить угловой коэффициент k и для выбранных углов φ0 вычислить значения g по (12), и сравнить их с общепринятым значением g = 9,8 м/с2. Те углы φ0, для которых вычисленная величина g с учётом погрешности измерений сохранит одинаковые числовые значения и определяет диапазон изохронности колебаний, реализуемых данным прибором.
Порядок измерений таков: выбирается конкретное значение угла φ0, на которое необходимо отклонить шарик от положения равновесия, устанавливается длина маятника, производится опыт, в процессе которого измеряется период T. Опыт производится несколько раз так, что при фиксированном угле φ0 необходимо иметь от трёх до пяти измеренных значений l и T.
Это будет первая серия измерений, которая на плоскости (T2, l) даст только одну точку. Для проверки формулы (10) при данном угле φ0 необходимо произвести несколько таких серий.
Предлагается сделать по пять таких серий измерений для каждого из углов φ0, в качестве которых выбираются следующие три угла: φ0 = 10о; φ0 = 20о; φ0 = 30о.
По многократно измеренным значениям l и T для выбранного угла φ0 вычисляются их средние арифметические по формулам:
, 
, (14)
где n – число измерений.
В результате проделанных измерений студент должен заполнить следующие три таблицы опытными данными и показать их преподавателю.
Таблица 1.
| φ0 = 10о | ||||||||||
| n номер измерения | серия 1 | серия 2 | серия 3 | серия 4 | серия 5 | |||||
| l, м | T, с | l, м | T, с | l, м | T, с | l, м | T, с | l, м | T, с | |
| 1 2 3 4 5 |
Таблица 2.
| φ0 = 20о | ||||||||||
| n номер измерения | серия 1 | серия 2 | серия 3 | серия 4 | серия 5 | |||||
| l, м | T, с | l, м | T, с | l, м | T, с | l, м | T, с | l, м | T, с | |
| 1 2 3 4 5 |
Таблица 3.
| φ0 = 30о | ||||||||||
| n номер измерения | серия 1 | серия 2 | серия 3 | серия 4 | серия 5 | |||||
| l, м | T, с | l, м | T, с | l, м | T, с | l, м | T, с | l, м | T, с | |
| 1 2 3 4 5 |
При проведении измерений длины l маятника необходимо иметь ввиду, что последняя слагается из длины нити, удерживающей шарик, и радиуса шарика.
Радиус шарика вычисляется через его диаметр, который измеряется штангенциркулем. Так как шарик не представляет идеальную сферическую поверхность, то каждое измерение диаметра будет давать величину, незначительно отличающуюся от ранее измеренной.
На приборе, реализующем колебательные движения маятника, имеется устройство, регулирующее длину нити. В таком случае длину нити можно измерять двояким образом: либо к нити фиксированной длины приложить эталонную нить, длину которой затем необходимо измерить на мерной линейке; либо в качестве эталонной нити взять нить определённой длины и по ней с помощью регулируемого устройства данного прибора зафиксировать длину нити маятника.
Подвижная платформа (см. рис. 1) позволяет измерять длину маятника ещё одним способом. Для этого необходимо нить маятника вместе с шариком совместить с верхней плоскостью подвижной платформы (см. рис. 3) Данное же положение платформы можно зафиксировать на измерительной линейке – это будет длина нити вместе с шариком, из которой необходимо вычесть радиус шарика. Диаметр шарика необходимо измерить штангенциркулем.
Рис. 3.
Период T колебаний маятника лучше определять так: измерить время t нескольких колебаний маятника и затем разделить это время на число колебаний. При этом надо иметь ввиду, что под временем одного колебания подразумевается то время, в течение которого шарик из одного из крайних положений возвращается в то же положение.
Для установления требуемого угла φ0 необходимо воспользоваться прямоугольной металлической пластиной, на которой из одной точки выходят несколько направляющих линий, наклонённых под различными углами к вертикальной линии, исходящей из этой точки. Эти углы можно измерить с помощью транспортира.
Подвижная платформа позволяет прямоугольную пластину совместить с точкой подвеса нити маятника так, чтобы вертикальная линия на пластине совпадала с нитью маятника, когда шарик находится в нижнем положении.
После указанного совмещения подвижную платформу вместе с пластиной можно закрепить. Теперь при отклонении нити на тот или иной угол её надо совместить с одной из линий пластины, определяющей конкретный угол (см. рис. 1)