Замечательное свойство окружности.

ОКРУЖНОСТЬ

i. 1. Окружность. Окружностью называется геометрическое место то­чек плоскости, удаленных от данной точки, называемой центром окруж­ности, на одно и то же положительное расстояние.

ii. Свойства окружности.

1) Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

2) Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диа­метром, перпендикулярен этой хорде.

3) Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окруж­ности.

5) Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.

6) Хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния, равны.

7) Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.

8) Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.

9) Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.

10) Диаметр есть наибольшая хорда окружности.

Замечательное свойство окружности.

1) Геометрическое место то­чек M, из которых отрезок AB виден под прямым углом (Ð AMB = 90⁰), есть окружность с диаметром AB без точек A и B.

2) Геометрическое место точек M, из которых отрезок AB виден под острым углом ( Ð AMB < 90⁰) есть внешность круга с диаметром АВ без точек прямой AB.

3) Геометрическое место точек M, из которых отрезок AB виден под тупым углом ( Ð AMB > 90⁰), есть внутренность круга с диаметром АВ без точек отрезка AB.

3. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.

4. Центр окружности, описанной около прямоугольного треуголь­ника - середина гипотенузы.

5. Касательная к окружности. Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности.

1) Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2) Если прямая l, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то прямая l - касательная к окружности.

3) Если прямые, проходящие через точку M, касаются окружности в точках A и B, то MA=MB ( Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны).

4) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе это­го угла.

5) Теорема о биссектрисах треугольника. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

6. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c, равен .

7. Если M - точка касания со стороной AC окружности, вписанной в треугольник ABC, то AM=p−BC, где p - полупериметр треуголь­ника.

8. Окружность касается стороны BC треугольника ABC и продол­жений сторон AB и AC. Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности с прямой AB равно полупериметру треугольни­ка ABC.

9. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC соответственно в точках K, L и M. Если Ð BAC = α, то Ð KLM = 90⁰ − .

10. Даны окружности радиусов r и R (R > r). Расстояние между их центрами равно a (a>R + r). Тогда отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключенные между точками касания, равны соответственно a²−(R−r)² и a²−(R+r)².

11. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

12. Касающиеся окружности. Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точка касания).

1) Точка касания двух окружностей лежит на их линии центров.

2) Окружности радиусов r и R с центрами O₁ и O₂ касаются внеш­ним образом тогда и только тогда, когда R + r = O₁O₂.

3) Окружности радиусов r и R (r < R) с центрами O₁ и O₂ касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда R − r = O₁O₂.

4) Окружности с центрами O₁ и O₂ касаются внешним образом в точке K. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекается с общей касательной, проходящей через точку K, в точке C. Тогда ÐAKB = 90⁰ и ÐO₁CO₂ = 90⁰.