Определение
Вещественнозначная функция, определённая на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства) выпукла, если для любых двух значений аргумента 
, 
и для любого числа 
выполняется неравенство Йенсена:
Если это неравенство является строгим для всех 
, функция называется строго выпуклой; если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой, или выпуклой вверх.
NB! Иногда выпуклая функция определяется как вогнутая и наоборот.
Свойства
- Функция
, выпуклая на интервале 
, непрерывна на всём , дифференцируема на всём за исключением не более чем счётного множества точек и дважды дифференцируема почти везде. - Непрерывная функция выпукла на тогда и только тогда, когда для всех точек
выполняется неравенство
- Непрерывно дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже касательной, проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.
- Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция
строго выпукла на 
, но её вторая производная в точке 
равна нулю). - Если функции ,
выпуклы, то любая их линейная комбинация 
с положительными коэффициентами 
, 
также выпукла. - Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом).
- Любая стационарная точка выпуклой функции будет глобальным экстремумом.
- Для выпуклых функций выполняется неравенство Йенсена:
где 
— случайная величина со значениями в области определения функции , 
— математическое ожидание.
| Асимптота плоской кривой |
Асимптотаплоской кривой с бесконечной ветвью – прямая, к которой эта ветвь неограниченно приближается. Пример
Кривая может пересекать свою асимптоту (даже неоднократно), например, график затухающего колебания – см. рис.
Если существуют конечные пределы  и  , то график функции у = f (x) имеет при х, стремящемся к +∞, наклонную асимптоту у = kx + b (горизонтальную, если k = 0). Аналогично определяются асимптоты при х, стремящемся к –∞.
Пример
Если функция у = f (x) не определена при х = а и хотя бы один из пределов этой функции при х, стремящемся к а справа или слева, бесконечен, прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика данной функции. Пример приведён выше – ось ординат для гиперболы  . Ясно, что кривая может и не иметь асимптоту, например, парабола у = х 2, хотя у неё есть две бесконечных ветви, а может иметь и несколько асимптот.
Название происходит от греческого слова άσΰμπτωτος – несовпадающий, некасающийся, в латинском написании – asymtotos – не сливающийся.
|
Общая схема исследования функции и построения её графика
После того как мы обсудили многие аспекты поведения функции и способы их исследования, сформулируем общую схему исследования функции. Эта схема даст нам практический способ построения графика функции, отражающего основные черты её поведения.
Пусть дана функция 
. Для её исследования нужно:
1). Найти её область определения 
. Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений 
. (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения откладывается до нахождения экстремумов функции.)
2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси 
), не является ли она периодической.
3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента 
к граничным точкам области определения , если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот.
4). Если область определения вклоючает в себя лучи вида 
или 
, то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при 
или 
соответственно.
5). Найти точку пересечения графика с осью 
(если 
). Для этого нужно вычислить значение 
. Найти также точки пересечения графика с осью , для чего найти корни уравнения 
(или убедиться в отсутствии корней). Уравнение часто удаётся решить лишь приближённо, но уже отделение корней помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.
6). Найти интервалы монотонности функции (то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной 
.
функции.
7). Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции. Это делается с помощью исследования знака второй производной 
. Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции.
8). В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.
После выяснения свойств функции, упомянутых в пунктах 1 - 8, и нахождения опорных точек (точек пересечения с осями координат, точек графика, соответствующих точкам локального экстремума, точкам перегиба и проч.) мы можем достаточно точно построить график.