Понятие определенного интеграла было дано в предположении, что отрезок интегрирования конечен, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Если хотя бы одно из этих условий нарушено, то соответствующие интегралы называются несобственными. Рассмотрим два вида несобственных интегралов.
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Пусть промежутком интегрирования является луч 
, а функция y=f(x) интегрируема на каждом конечном отрезке [a,b]. Геометрически задача состоит в нахождении площади под кривой. Возьмем точку в, найдем площадь кр.тр.через опр. инт. и устремим в к 
.
Несобственным интегралом
называют предел функции верхнего предела интегрирования при его стремлении к бесконечности:
= 
.
Если указанный предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл существует или сходится, если конечный предел не существует – то говорят, что несобственный интеграл не существует или расходится.
Пусть теперь промежутком интегрирования является луч 
.
Тогда аналогично вводится понятие несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом:
= 
.
Аналогично определяется несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами. В этом случае числовую ось разбивают произвольной точкой с на два луча и полагают
+ 
.
Если оба несобственных интеграла в правой части сходятся, то сходится и несобственный интеграл в левой части, причем его значение не зависит от выбора промежуточной точки с (доказать самостоятельно).
В геометрическом смысле несобственный интеграл от неотрицательной функции равен площади неограниченной криволинейной трапеции.
|
|
Пример 1. 
.
Данный несобственный интеграл расходится.
Пример 2. 
.
Данный несобственный интеграл сходится к значению 1.
Заметим, что указанный способ нахождения несобственных интегралов можно свести к применению аналога формулы Ньютона-Лейбница:
= 
.
Пример 3. 
.
2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Пусть функция y=f(x) определена на промежутке 
. В точке в функция не ограничена, но 
ограничена в отрезке 
(точку в назовем тогда особой точкой). Тогда несобственным интегралом от неограниченной функции y=f(x) называют предел функции верхнего предела интегрирования при 
слева:
= 
.
Если указанный предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится (в противном случае – расходится).
Аналогично, если а – особая точка: если функция не ограничена в точке а, но ограничена на любом меньшем отрезке 
, то несобственный интеграл определяют так:
.
Если единственной особой точкой на отрезке [ a,b ] является точка 
, то полагают
при условии, что оба несобственных интеграла в правой части сходятся.
Если особых точек на отрезке [ a,b ] несколько, то отрезок разбивают таким образом, чтобы в каждой части было не более одной особой точки и используют последнее определение.
Для вычисления несобственных интегралов от неограниченных функций также может быть использован аналог формулы Ньютона − Лейбница. Например, для несобственного интеграла с особыми точками а и в:
,
где 
, 
.
Пример 1. Найти интеграл 
.
Данный интеграл – несобственный, т.к. подынтегральная функция на отрезке интегрирования имеет особую точку х= 0. Тогда
|
|
.
Или по упрощенной формуле (Ньютона – Лейбница):
.
Пример 2. Найти интеграл 
.
Подынтегральная функция имеет на промежутке интегрирования единственную особую точку х =1.
= 
.
Следовательно, данный несобственный интеграл расходится.
Пример 3. Найти интеграл 
.
Имеем несобственный интеграл с особой точкой х =2. Тогда
Следовательно, данный несобственный интеграл сходится к значению 6.