На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего в астрономии. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчетах. Проблемы возникали и в других областях, например, в финансовом и страховом деле нужны были таблицы сложных процентов для различных значений процента. Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития Логарифмы были изобретены одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632).
Понятие логарифма числа связано с решением показательных уравнений. Остановимся на решении двух показательных уравнений. Решение уравнения не вызывает труда. то данное уравнение примет вид
Поэтому уравнение имеет единственное решение
А теперь попробуем решить уравнение По теореме о корне это уравнение также имеет единственное решение. Однако, в отличие от предыдущего уравнения, это уравнение является иррациональным числом. Обдумывая, ситуацию с показательным уравнением
математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения
записали так:
(читается: логарифм числа
по основанию
Остановимся теперь на понятии логарифма числа. Очень часто приходится решать задачу: известно, что необходимо найти показатель степени
т.е. решить задачу, обратную возведению числа в степень. При нахождении этого показателя степени
и возникает понятие логарифма числа
по основанию
Например:
а) log 3 81 = 4, так как 34 = 81;
б) log 5 125 = 3, так как 53 = 125;
в) log 0,5 16 = -4, так как (0,5)-4 = 16;
г) , так как
=
=
Операцию нахождения логарифма числа называют ЛОГАРИФМИРОВАНИЕМ. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием. Сравните.
Возведение в степень | Логарифмирование |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Десятичные и натуральные логарифмы
На практике рассматриваются логарифмы по различным основаниям, в частности по основанию 10.
Логарифмом положительного числа по основанию 10 называют десятичным логарифмомчисла в и обозначается,
т.е. вместо
пишут
.
Например,
Натуральным логарифмом (обозначается In) называется логарифм по основанию e
Примеры вычисления десятичных логарифмов:
-
так как
-
, так как
-
так как
-
так как
-
так как
-
, так как
3. Основное логарифмическое тождество:
Равенство , где а > 0, a
1, b > 0, называют основным логарифмическим тождеством.
x = logab – корень уравнения ax = b, где а > 0, a 1, b > 0.
Основные логарифмические свойства:
![]() | ![]() |
![]() |
4. Примеры с решениями
1. Вычислить: 1) 2)
3)
Решение. 1) , так как 34 = 81.
2) Пусть . Тогда по определению логарифма
, или
, откуда
,
.
3) Пусть . Тогда по определению логарифма
, откуда
,
,
,
.
2. Найти: 1) 2)
3)
Решение. 1) По определению логарифма (согласно основному логарифмическому тождеству) 2)
3)
3. Вычислить:
1) 2)
3)
Решение.
1)
2)
3)
5. Задания для самостоятельного решения:
1. Вычислить:
1) 2)
3)
4) 5)
6)
Ответы: - 4; 4; -3; - 2; 2; 0.
- Вычислите десятичные логарифмы:
1) 2)
3)
4)
.
Ответы: - 4; - 1; ½; 4.
- Вычислите натуральные логарифмы:
1) 2)
3)
4)
Ответы:
- Вычислите:
1) 2)
Ответы: - 2; 2.
Алгоритм выполнения домашнего задания:
1. Отвечаем в тетрадке письменно на вопросы а)-в) (см. стр.1).
2. Конспектируем теоретические сведения (см. пункт Изложение нового материала – стр.1-3, включительно Основные логарифмические свойства).
3. Разбираем внимательно решенные примеры (см. пункт Примеры с решениями- стр.3-4).
4. Смотрим презентацию.
5. Выполняем задания для самостоятельного решения (см. стр. 4). Выполняем все в обычной тетради по математике. Это не практическая работа. Если с собой не взяли тетради по математике, то выполняем в тонкой и привозим выполненные задания с собой.
6. Всем удачи! Если есть вопросы, то пишите мне в комментариях. Не забывайте проходить регистрацию строго по времени. Задания также выкладываются по времени.